Моделі споживчого вибору

Нехай споживач, маючи в своєму розпорядженні деякою сумою коштів, повністю витрачає її на придбання товарів. Набір товарів купує виходячи з наявної суми коштів і власних уподобань. Математична модель поведінки такого споживача називається моделлю споживчого вибору.

Розглянемо споживчий набір з двох товарів (), де x і y - кількість одиниць першого і другого товарів відповідно. Споживчий набір - це точка в прямокутній системі координат xOy з координатами ().

Ставлення споживача до різних наборів товарів називають вибором споживача.

Якщо кожного набору () поставити у відповідність споживчу оцінку цього набору у вигляді деякого числа u. то отримаємо функцію корисності споживача u ().

Нехай набір переважніше набору. Тоді оцінка споживачем набору перевершує оцінку набору. тобто . Кожен споживач має свою функцію корисності.

Властивості функції корисності

1. Зростання споживання одного продукту при постійному споживанні іншого призводить до зростання функції корисності:

Перші приватні похідні від функції корисності споживача називаються граничними полезностямісоответствующіх продуктів:

- гранична корисність першого продукту;

- гранична корисність другого продукту.

2. Функція корисності повинна бути, принаймні, двічі диференціюється. Приватна похідна від граничної корисності продукту за тією ж змінної повинна бути негативною, тобто гранична корисність зменшується з ростом цієї змінної (цього продукту). Звідси випливає, що другі приватні похідні по тому ж аргументу повинні бути негативні, тобто

Це властивість називається законом убування граничної корисності.

3. Друга похідна від граничної корисності продукту за іншою змінною повинна бути позитивною, тобто гранична корисність збільшується зі зростанням іншої змінної (іншого продукту). Таким чином,

Якщо функція корисності в завданні споживчого вибору не має властивості 2 і 3, вона тим не менше може описувати реальну поведінку споживача.

Лінії рівня функції корисності споживача називаються лініями байдужості.

Лінії байдужості є функціями однієї змінної. Ця функція має вигляд:

Безліч ліній байдужості називається картою ліній байдужості (рис. 5).

На рис. 5 зображені лінії байдужості, мають рівні корисності споживача. і. Лінії байдужості не стосуються і не перетинаються. При збільшенні рівня функції корисності лінії байдужості зміщуються вправо вгору. Для прикладу рис. 11.1 справедливо нерівність.

Мал. 5 Лінії байдужості

З наведених вище властивостей функції корисності слід, лінія байдужості в системі координат хОу є спадною і опуклою вниз (увігнутою) функцією.

Якщо розглядати диференціал функції корисності при русі вздовж лінії рівня, то видно, що він дорівнює нулю. Це пов'язано з тим, що значення функції при цьому не змінюється. Таким чином,

Звідси слідує що

Похідна називається граничною нормою заміни першого продукту другим.

Так як чисельник і знаменник дробу - величини позитивні (властивість 1), то похідна функції байдужості є негативною, тобто дана функція є спадною.

Друга похідна функції знаходиться шляхом диференціювання (41):

Так як перший доданок чисельника позитивно в силу властивостей 1 і 2 функції корисності, другий доданок чисельника також позитивно в силу властивостей 1 і 3 функції корисності, то друга похідна функції байдужості є величиною позитивною. Звідси випливає, що лінії байдужості випуклі до низу.

Якщо перейти від нескінченно малих збільшень dx і dy до кінцевих приращениям і. то можна записати наступне наближене рівність:

Зіставивши цей вислів з (41), знайдемо

Дріб називається нормою заміни першого продукту вторим.Норма заміни показує, наскільки зміниться споживання другого продукту при зміні споживання першого продукту на одиницю. Якщо відома функція корисності то норма заміни розраховується за формулою (42).

Приклад. Нехай протягом місяця споживається 45 одиниць продукту х і 36 одиниць продукту у. Функція корисності споживача задана співвідношенням

Визначити величину, на яку споживач повинен збільшити споживання другого продукту при зменшенні споживання першого на десять одиниць.

Рішення. Норму заміни першого продукту другим знаходять із співвідношення (42):

При зменшенні споживання продукту х на 10 одиниць споживання продукту у зросте на 12,5 одиниць. дійсно,

Таким чином, норма заміни показує, на скільки повинен споживач збільшити (зменшити) споживання другого продукту, якщо він зменшив (збільшив) споживання першого продукту на задану величину.

Оптимізація функції корисності

Природно, що споживач бажає так використовувати наявні у нього кошти, щоб отримати максимальну користь при витраті деякого заданого їх кількості.

Завданням споживчого вибору називається визначення такого споживчого набору, який максимізує функцію корисності споживача при заданому бюджетному обмеженні. Цей набір називають оптимальним для споживача, або локальним ринковою рівновагою споживача.

Бюджетним обмеженням називається грошова сума (дохід), призначена на покупку даного набору товарів.

Якщо товарів два, то бюджетне обмеження I і ціни на перший і другий товари пов'язані співвідношенням

Завдання математичного вибору можна записати у вигляді ЗМП:

При вирішенні задачі математичного вибору (44) зазвичай бюджетне обмеження замінюють на рівність. Це пов'язано з тим, що значення функції корисності збільшується при збільшенні x і y. Максимум лежить на крайніх правих і нижніх точках. Отже, завдання математичного програмування можна замінити завданням на умовний екстремум: за умов

де - цільова функція; - функція зв'язку.

Функція Лагранжа для цього завдання має вигляд:

Складаємо систему лінійних рівнянь, для чого прирівнюємо до нуля перші приватні похідні функції Лагранжа:

Помножимо перше рівняння на. а друге - на і віднімемо друге рівняння з першого:

Таким чином, систему рівнянь для укороченою підозрілої точки функції Лагранжа можна переписати у вигляді:

Зіставивши (46) з (42), отримаємо,

тобто норма заміни першого продукту другим дорівнює відношенню ціни першого продукту до ціни другого.

Геометричний сенс умовного екстремуму функції в точці полягає в тому, що градієнти цільової функції і функції зв'язку. виходить з точки. обов'язково розташовані на одній прямій і перпендикулярні лініях рівнів функцій і. Лінією рівня функції корисності є лінія байдужості, а лінія рівня функції зв'язку збігається з бюджетної прямої. Лінії рівнів функцій і. містять точку. стосуються в цій точці.

Градієнт функції в точці спрямований вправо вгору. дійсно,

а й позитивні за умовою задачі.

Точно так же спрямований градієнт функції в точці.