Модель міжгалузевого балансу Леонтьєва

Розглянемо n галузей промисловості, кожна з яких виробляє свою продукцію. Позначимо - валовий випуск продукції галузі i. продукція кожної галузі споживається в даній галузі і у всіх інших галузях економіки (в іншому випадку відповідне значення змінної дорівнює нулю), частина продукції споживається поза сферою матеріального виробництва і називається кінцевим продуктом. Позначимо - величина продукту, виробленого в галузі i, споживаного в галузі j, - величина кінцевого продукту галузі i. Тоді виробництво і споживання продукції кожної галузі може бути записано у вигляді

або для всіх галузей економіки регіону у вигляді системи рівнянь

Побудована система лінійних рівнянь називається системи балансових рівнянь. тому визначає обсяги виробленої і споживаної продукції по галузях.

Величина називається коефіцієнтом прямих витрат і визначає частку продукції галузі i. яка споживається в галузі j. Тоді і систему міжгалузевого балансу можна представити у вигляді системи лінійних рівнянь

і розглянемо матричне рівняння (1.5.3), що відповідає системі (1.5.2)

в якому матриця (вектор) Х називається вектором валового випуску по галузях, матриця А називається матрицею прямих витрат або технологічної матрицею, матриця (вектор) Y називається вектором кінцевого продукту. Матричне рівняння (1.5.3) носить назву моделі міжгалузевого балансу Леонтьєва і дозволяє вирішувати завдання трьох видів:

1) по відомим величинам валового випуску продукції галузей Х і технологічної матриці А можна обчислити величину кінцевого продукту Y:

де Е - одинична матриця. отже,

2) за заданими величинами кінцевого продукту Y і технологічної матриці А можна визначити необхідний випуск продукції Х:

3) по відомим величинам валового випуску деяких галузей. заданим значенням кінцевого продукту інших галузей і матриці прямих витрат А можна визначити кінцевий продукт перших галузей і валовий випуск друге, використовуючи модель Леонтьєва у вигляді системи рівнянь (1.5.2).

Матриця називається матрицею повних витрат. так як кожен її елемент - величина валового випуску галузі. необхідного для забезпечення випуску одиниці кінцевого продукту галузі.

Матриця називається продуктивною. тобто існує рішення в моделі Леонтьєва, якщо знайдеться такий вектор (матриця). що.

Критерій продуктивності. Для того, щоб матриця прямих витрат була продуктивною необхідно і достатньо, щоб виконувалася одна з умов:

1) існує зворотна матриця. всі елементи якої невід'ємні,

2) матричний ряд сходиться, причому його сума дорівнює,

3) найбільше по модулю власне значення матриці. тобто рішення характеристичного рівняння. було строго менше одиниці,

4) всі головні мінори матриці позитивні.

Приклад 1.5.1. Для трьох галузевої системи економіки задана матриця прямих витрат А і валовий випуск Х:

Необхідно обчислити вектор кінцевої продукції.

Рішення: обчислимо матрицю

Використовуючи (1.5.4), отримаємо

Приклад 1.5.2. У таблиці наведено дані про виконання балансу за звітний період (в умовних грошових одиницях):

1. скласти систему балансових рівнянь задачі,
2. знайти технологічну матрицю прямих витрат А,
3. досліджувати на продуктивність матрицю А і знайти матрицю повних витрат В,
4. визначити необхідний обсяг валового випуску кожної галузі, якщо кінцевий продукт в енергетиці збільшиться в 2 рази, в машинобудуванні - зменшиться на 20%, в нафтохімії - збільшиться на 30%.

Рішення: 1) за умовою

За формулою отримаємо систему балансових рівнянь регіону

Очевидно, що сумарний кінцевий продукт в регіоні дорівнює (умовних грошових одиниць), а найбільший внесок в розмірі 72,97% від загального обсягу становить кінцевий продукт машинобудівної галузі.

2) За формулою отримаємо

Таким чином, матриця прямих витрат має вигляд

3) Для дослідження матриці на продуктивність, скористаємося критерієм продуктивності. Серед всіх зазначених умов, виберемо умова існування зворотної матриці. Для цього перш за все знайдемо матрицю

і її визначник

Так як матриця невироджена, то у неї існує зворотна

. Отже, виконаний критерій продуктивності (його перша умова), матриця продуктивна, а модель Леонтьєва має рішення.

Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів матриці:

- матриця повних витрат.

4) За умовою, в звітному періоді величини кінцевого продукту становили:

Якщо кінцевий продукт в енергетиці збільшиться в 2 рази, то його нове значення буде

Якщо кінцевий продукт в машинобудуванні зменшиться на 20%, то його нове значення складе

Тоді вектор кінцевого продукту буде мати вигляд

а необхідний для цього валовий випуск по галузям

Отже, валовий випуск енергетики повинен скласти 689,881, машинобудування - 680,005, нафтохімії - 520,055 умовних грошових одиниць.

Завдання 1. Для трьох галузевої системи економіки задана матриця прямих витрат А і валовий випуск Х. Необхідно обчислити вектор кінцевої продукції.

Завдання 2. Технологічна матриця прямих витрат в міжгалузевому балансі має вигляд:

Обчислити вектор валового випуску Х. якщо необхідно отримати кінцевий продукт в першій галузі - 70 тисяч рублів, у другій - 230 тисяч рублів, в третій - 160 тисяч рублів, тобто

Завдання 3. У таблиці наведено дані про виконання балансу за звітний період (в умовних грошових одиницях):