Множення вектора на число - студопедія

Спочатку про коллинеарности векторів. Два вектора називаються колінеарними. якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Грубо кажучи, мова йде про паралельних векторах. Але стосовно до них завжди використовують прикметник «Колінеарні».

Уявіть два колінеарних вектора. Якщо стрілки даних векторів спрямовані в одному напрямку, то такі вектори називаються сонаправленнимі. Якщо стрілки дивляться в різні боки, то вектори будуть протилежно спрямовані.

Позначення: коллинеарность векторів записують звичним значком паралельності:. при цьому можлива деталізація: (вектори сонаправлени) або (вектори спрямовані протилежно).

Твором ненульового вектора на число є такий вектор. довжина якого дорівнює. причому вектори і сонаправлени при і протилежно спрямовані прі.

Правило множення вектора на число легше зрозуміти за допомогою малюнка:

9.Коллінеарние і компланарні вектори

Визначення. Вектори називаються колінеарними. якщо вони розташовані на одній або паралельних прямих. Нульовий вектор коллінеарен будь-якому вектору. \

Визначення. Вектори називаються компланарними. якщо існує площину, якій вони параллельни.Коллінеарние вектори завжди компланарні, але не всі компланарні вектори колінеарні.

Все вище згадані випадки легко розглянути, якщо розмістити вектори на ребрах паралелепіпеда.

1. Будь-які два вектори знаходяться в одній площині, але в одній площині можна розмістити і вектори AA1- → -, CC1- → - і AD- → -, тобто ці вектори компланарні. Також компланарність вектори AA1- → -, AB- → - і CC1- → -, так як два з цих векторів паралельні. Легко уявити, що якщо привести їх до загального початку, то вектор CC1- → - співпаде з вектором AA1- → -.

2. Наприклад, вектори AB- → -, AD- → - і AA1- → - НЕ компланарність, так як їх не можна розмістити в одній і тій же площині.

Ознака компланарності трьох векторів:

Нехай вектори a # 8407; і b # 8407; НЕ колінеарні. Якщо для вектора c # 8407; існує єдина пара дійсних чисел x і y, така, чтоc # 8407; = X # 8901; a # 8407; + Y # 8901; b # 8407 ;. то вектори a # 8407 ;. b # 8407; і c # 8407; компланарність.

Справедливо і зворотне твердження:

Якщо три вектори a # 8407 ;. b # 8407; і c # 8407; компланарність і вектори a # 8407; і b # 8407; НЕ колінеарні, то вектор c # 8407; можна розкласти по векторах a # 8407; і b # 8407; одним єдиним чином.

10. Координати точки, координати вектора

Якщо дано дві точки площини і. то вектор має наступні координати:

Якщо дано дві точки простору і. то вектор має наступні координати:

Тобто, з координат кінця вектора потрібно відняти відповідні координати початку вектора.

Обов'язково потрібно розуміти різницю між координатами точок і координатами векторів:

Координати точок - це звичайні координати в прямокутній системі координат. Відкладати точки на координатній площині, думаю, все вміють ще з 5-6 класу. Кожна точка має суворим місцем на площині, і переміщати їх куди-небудь не можна.

Координати ж вектора - це його розкладання по базису. в даному випадку . Будь-вектор є вільним, тому при необхідності ми легко можемо відкласти його від будь-якої іншої точки площині. Цікаво, що для векторів можна взагалі не будувати осі, прямокутну систему координат, потрібен лише базис, в даному випадку ортонормованій базис площини.

Записи координат точок і координат векторів начебто схожі:. а сенс координат абсолютно різний. і вам слід добре розуміти цю різницю. Ця відмінність, зрозуміло, справедливо і для простору

11.Коордінати суми і різниці векторів, твір на число

Сума векторів (сума векторів) a + b є операція обчислення вектора c, все елементи якого дорівнюють попарной сумі відповідних елементів векторів a і b, тобто кожен елемент вектора c дорівнює: сi = ai + bi

Віднімання векторів (різницю векторів) a - b є операція обчислення вектора c, все елементи якого дорівнюють попарной різниці відповідних елементів векторів a і b, тобто кожен елемент вектора c дорівнює: сi = ai - bi

У разі просторової задачі суму і різницю векторів a = x; ay; az> і b = x; by; bz> можна знайти скориставшись наступними формулами: