Множення і ділення раціональних дробів

Перш за все, щоб навчитися працювати з раціональними дробами без помилок, необхідно вивчити формули скороченого множення. І не просто вивчити - їх необхідно розпізнавати навіть тоді, коли в ролі доданків виступають синуси, логарифми і коріння.

Однак основним інструментом залишається розкладання чисельника і знаменника раціонального дробу на множники. Цього можна домогтися трьома різними способами:

Власне, по формула скороченого множення: вони дозволяють згорнути многочлен в один або кілька множників;
За допомогою розкладання квадратного тричлена на множники через дискримінант. Цей же спосіб дозволяє переконатися, що будь-якої тричлен на множники взагалі не розкладається;
Метод угруповання - найскладніший інструмент, але це єдиний спосіб, який працює, якщо не спрацювали два попередніх.

Напевно у багатьох зараз виникне питання: «Навіщо учням 10-11 класів вивчати такі прості речі як раціональні дроби, адже це проходиться в 8 класі?». Але в тому то й біда, що більшість людей цю тему саме «проходять». Вони в 10-11 класі вже не пам'ятають, як робиться множення, ділення, віднімання і додавання раціональних дробів з 8-го класу, а адже саме на цих простих знаннях будуються подальші, більш складні конструкції, як рішення логарифмічних, тригонометричних рівнянь і багатьох інших складних виразів, тому без раціональних дробів робити в старших класах практично нічого.

Формули для вирішення завдань

Давайте перейдемо до справи. Перш за все, нам буде потрібно два факти - два комплекти формул. Перш за все, необхідно знати формули скороченого множення:

У чистому вигляді вони ні в яких прикладах і в реальних серйозних виразах не зустрічаються. Тому наше завдання полягає в тому, щоб навчитися бачити під буквами $ a $ і $ b $ набагато більш складні конструкції, наприклад, логарифми, коріння, синуси і т.д. Навчитися бачити це можна лише за допомогою постійної практики. Саме тому вирішувати раціональні дроби абсолютно необхідно.

Друга, зовсім очевидна формула - це розкладання квадратного тричлена на множники:

З теоретичною частиною ми розібралися. Але як вирішувати реальні раціональні дроби, які розглядаються в 8 класі? Зараз ми і потренуємося.

Завдання № 1

Взагалі, що таке скорочення? Скорочення - це використання основного правила роботи з такими виразами. Основна властивість дробу полягає в тому, що ми можемо чисельник і знаменник можемо помножити на одне і те ж число, відмінне від «нуля». В даному випадку, коли ми скорочуємо, то, навпаки, ділимо на одне і те ж число, відмінне від «нуля». Однак ми повинні всі складові, які стоять в знаменнику, розділити на одне й те саме число. Робити так не можна. І скорочувати чисельник зі знаменником ми маємо право лише тоді, коли обидва вони розкладені на множники. Давайте це і зробимо.

Тепер необхідно подивитися, скільки доданків знаходиться в тому чи іншому елементі, відповідно до цього дізнатися, яку формулу необхідно використовувати.

Перетворимо кожен вираз в точний куб:

Давайте подивимося на знаменник. Розкладемо його за формулою різниці квадратів:

Тепер подивимося на другу частину виразу:

Залишилося розібратися зі знаменником:

Давайте перепишемо всю конструкцію з урахуванням перерахованих вище фактів:

Нюанси множення раціональних дробів

Ключовий висновок з цих побудов наступний:

Далеко не кожен многочлен розкладається на множники.
Навіть якщо він і розкладається, необхідно уважно дивитися, з якої саме формулою скороченого множення.

Для цього, по-перше, потрібно оцінити, скільки всього доданків (якщо їх два, то все, що ми можемо зробити, то це розкласти їх або за сумою різниці квадратів, або за сумою або різниці кубів; а якщо їх три, то це , однозначно, або квадрат суми, або квадрат різниці). Дуже часто буває так, що або чисельник, або знаменник взагалі не вимагає розкладання на множники, він може бути лінійним, або дискриминант його буде негативним.

Завдання № 2

В цілому, схема вирішення цього завдання нічим не відрізняється від попередньої - просто дій буде більше, і вони стануть різноманітніше.

Почнемо з першого дробу: подивимося на її чисельник і зробимо можливі перетворення:

\ [3-6x = 3 \ left (1-2x \ right) \]

Тепер подивимося на знаменник:

З другої дробом: в чисельнику взагалі нічого не можна зробити, тому що це лінійний вираз, і винести з нього будь-якої множник можна. Подивимося на знаменник:

Йдемо до третьої дробу. чисельник:

Розберемося зі знаменником останньої дробу:

Перепишемо вираз з урахуванням вищеописаних фактів:

нюанси рішення

Як бачите, далеко не всі і не завжди впирається в формули скороченого множення - іноді просто достатньо винести за дужки константу або змінну. Однак буває і зворотна ситуація, коли доданків настільки багато або вони так побудовані, що формули скороченого множення до них взагалі неможливо. В цьому випадку до нас на допомогу приходить універсальний інструмент, а саме, метод угруповання. Саме це ми зараз і застосуємо в наступної задачі.

Завдання № 3

Розберемо першу частину:

\ [= 5 \ left (ab \ right) - \ left (ab \ right) \ left (a + b \ right) = \ left (ab \ right) \ left (5-1 \ left (a + b \ right ) \ right) = \]

\ [= \ Left (a-b \ right) \ left (5-a-b \ right) \]

Давайте перепишемо вихідне вираз:

Тепер розберемося з другої дужкою:

Так як два елементи не вийшло згрупувати, то ми згрупували три. Залишилося розібратися лише зі знаменником останньої дробу:

Тепер перепишемо всю нашу конструкцію:

Завдання вирішена, і більше нічого спростити тут не можна.

нюанси рішення

З угрупованням ми розібралися і отримали ще один дуже потужний інструмент, який розширює можливості по розкладанню на множники. Але проблема в тому, що в реальному житті нам ніхто не даватиме ось такі рафіновані приклади, де є кілька дробів, у яких потрібно лише розкласти на множник чисельник і знаменник, а потім по можливості їх скоротити. Реальні вираження будуть набагато складніше.

Швидше за все, крім множення і ділення там будуть присутні вирахування і складання, всілякі дужки - взагалі, доведеться враховувати порядок дій. Але найстрашніше, що при відніманні і складання дробів з різними знаменниками їх доведеться приводити до одного спільного. Для цього кожен з них потрібно буде розкладати на множники, а потім перетворювати ці дроби: приводити подібні і багато іншого. Як це зробити правильно, швидко, і при цьому отримати однозначно правильну відповідь? Саме про це ми і поговоримо зараз на прикладі наступної конструкції.

Завдання № 4

Давайте випишемо перший дріб і спробуємо розібратися з нею окремо:

Переходимо до другої. Відразу порахуємо дискриминант знаменника:

Він на множники НЕ розкладається, тому запишемо наступне:

Чисельник випишемо окремо:

Отже, цей многочлен на множники НЕ розкладається.

Максимум, що ми могли зробити і розкласти, ми вже зробили.

Разом переписуємо нашу вихідну конструкцію і отримуємо:

Все, задача вирішена.

Якщо чесно, це була не така вже й складне завдання: там все легко розкладати на множники, швидко наводилися подібні доданки, і все красиво скорочувалася. Тому зараз давайте спробуємо вирішити задачку серйозніше.

Завдання № 5

Спочатку давайте розберемося з першої дужкою. З самого початку розкладемо на множники знаменник другого дробу окремо:

Тепер попрацюємо з другої дробом:

Повертаємося до нашої вихідної конструкції і записуємо:

Ключові моменти

Необхідно знати «назубок» формули скороченого множення - і не просто знати, а вміти бачити в тих висловлюваннях, які будуть вам зустрічатися в реальних задачах. Допомогти нам у цьому може чудове правило: якщо доданків два, то це або різницю квадратів, або різниця або сума кубів; якщо три - це може бути тільки квадрат суми або різниці.
Якщо будь-яка конструкція не розкладається за допомогою формул скороченого множення, то нам на допомогу приходить або стандартна формула розкладання тричленів на множники, або метод угруповання.
Якщо щось не виходить, уважно подивіться на вихідне вираз - а чи потрібні взагалі якісь перетворення з ним. Можливо, досить буде просто винести множник за дужку, а це дуже часто буває просто константа.
У складних виразах, де потрібно виконати кілька дій поспіль, не забувайте приводити до спільного знаменника, і лише після цього, коли все дроби приведені до нього, обов'язково приведіть подібне в новому чисельнику, а потім новий чисельник ще раз розкладіть на множники - можливо, що -то скоротиться.

Безкоштовна підготовка до ЄДІ 7 простих, але дуже корисних уроків + домашнє завдання