Метричні задачі з нарисної геометрії

Метричні задачі з нарисної геометрії - один з основних розділів даної науки. У ньому зібрані завдання, пов'язані з визначенням натуральних величин площин, відрізків, кутів і відстаней між ними. Побудова перпендикуляра до прямої, а також побудова перпендикуляра до площини - ось головні питання, які вирішуються в метричних задачах.

Побудова зазначених перпендикулярів дозволяє вирішувати такі завдання:

• Знайти відстань від точки до площини
• Знайти відстань від точки до прямої
• Знайти відстань між паралельними прямими
• Знайти відстань між перехресними прямими
• Знайти відстань між паралельними площинами
• деякі інші завдання
• Визначити кут нахилу прямої до площини

Метричні задачі і теоретичні основи їх вирішення

Для успішного вирішення завдань, в ході яких необхідно знайти перпендикуляр до площини або до прямої, потрібно знати основи зі шкільної геометрії. Як ви розумієте, в даному випадку вже не працює фраза "у нас в школі не було креслення". Ці речі студент повинен знати за замовчуванням. Йдеться про кілька геометричних догмах.
1. Пряма перпендикулярна площині, якщо вона перпендикулярна хоча б двом прямим, що належить цій площині.
2. Відстань від точки до площини дорівнює перпендикуляру опущеного з точки на площину.
3. Відстань від точки до прямої одно перпендикуляру, проведеним з точки до цієї прямої.
4. Площина перпендикулярна іншій площині, якщо вона містить пряму, перпендикулярну іншій площині.

Зазначені теореми і аксіоми не допоможуть вам самі по собі оформити рішення метричних задач, але допоможуть зрозуміти шляхи, по яких потрібно рухатися для їх вирішення. У цій статті я не розглядаю детально методик вирішення типових задач. Можливо, я це зроблю пізніше в розділі "Нарисна геометрія". Зараз же я хотів зробити короткий огляд, метою якого є дати розуміння про те, що метричні задачі різноманітні, можуть мати різну складність і глибину вкладеності.

Деякі алгоритми вирішення метричних задач

Визначити відстань від точки до площини трикутника

Алгоритм вирішення даного завдання зводиться до наступних пунктів:
1. Побудувати пряму перпендикулярну площині 2. Знайти точку перетину цієї прямої з площиною. Так звана точка зустрічі прямої і площини. 3. Знайти натуральну величину отриманого відрізка.

Визначити відстань від точки до прямої загального положення

Завдання виконується в такий спосіб:
1. Побудувати площину, що проходить через задану точку і перпендикулярну заданої прямої. 2. Знаходимо точку перетину отриманої площини з прямою. 3. З'єднати цю точку із заданою. Це проекції перпендикуляра з точки на пряму. 4. Знайти НВ відрізка.

Визначити кут між прямою загального положення і площиною (часто зустрічається замаскована під знаходження кута нахилу ребра піраміди або тетраедра до основи)

Тут рекомендується робити так:
1. Знайти точку зустрічі прямої із заданою площиною (точку перетину). 2. З заданої точки провести перпендикуляр до площини. 3. Знайти точку зустрічі перпендикуляра з площиною. 4. З'єднати точки перетину перпендикуляра з площиною з точкою, знайденої в першому пункті і з заданою точкою. Отримаємо кут. Але це лише проекція кута. 5. Знайти натуральну величину отриманого кута.

Як ви можете бачити, кожна задача ділиться на підзадачі, причому деякі з них навіть заслужили бути розглянутими в окремих уроках. Наприклад завдання на знаходження точки перетину прямої і площини, або на знаходження натуральної величини відрізка. І це класичні задачі. Але в домашніх завданнях ці завдання часто компонуються, або множаться в залежності від способів завдання вихідних даних. Таким чином завдання в деяких ВНЗ можуть бути дуже прості, а в інших - в 3-5 разів складніше, довше в рішенні і наворочені в алгоритмах рішення. Саме це я і намагаюся донести, коли вказується можлива вартість виконання таких завдань: наперед назвати ціну неможливо, завдання потрібно обов'язково побачити.