Метод Жордана-Гаусса

«Якщо Ви хочете навчитися плавати,
то сміливо входите в воду,
а якщо хочете навчитися вирішувати завдання.
то вирішуйте їх. »
Д. Пойа (1887-1985 р)

(Математик. Вніс великий вклад
в популяризацію математики.
Написав кілька книг про те,
як вирішують завдання і
як треба вчити розв'язувати задачі.)

Алгоритм методу Жордана-Гаусса розв'язування систем лінійних рівнянь

2) Вибрати провідний елемент (будь-який ненульовий елемент) в будь-якому рядку і в будь-якому стовпці, крім останнього. (Рядок і стовпець, в яких він знаходиться називають провідними).

3) Виконати Жорданова виключення з обраним провідним елементом. Відзначити провідний рядок і всі рядки, помічені раніше.

4) Якщо хоча б один рядок має вигляд: (0 0 ... 0. b), b ≠ 0, то система рішень не має. Відповідь. Система несовместна.

5) Якщо все ненульові рядки матриці помічені, то виписати систему і знайти її спільне рішення. Відповідь. Загальне рішення системи.

6) Вибрати провідний елемент в будь-який Непомічені рядку і в будь-якому стовпці, крім останнього. Перейти до пункту 3.

Виконати Жорданова виключення з провідним елементомаij означає виконати наступні дії:

1) розділити провідний рядок на провідний елемент;

2) заповнити вільні місця в провідному стовпці нулями;

3) інші елементи матриці перерахувати за формулою, яку називають «правилом прямокутника».

Зобразимо це правило схематично. Ведучий елемент будемо виділяти рамкою. Стрілками показані елементи, які перемножуються в чисельнику дробу. Ці елементи розташовані на діагоналях прямокутника, утвореного провідним елементом аij. перераховуються елементом аkl і елементами, які знаходяться на перетині провідного рядка і стовпця l. ведучого шпальти і рядки k.

Метод Жордана-Гаусса

Зауваження.

1. В чисельнику дробу завжди від твору з провідним елементом (незалежно від того в якій вершині прямокутника варто провідний елемент) віднімається твір елементів, які знаходяться на перетині провідного рядка і стовпця l. ведучого шпальти і рядки k.

2. Якщо у провідній рядку є нульовий елемент, то стовпець, в якому він знаходиться, при Жорданова виключення не змінюється.

3. Якщо в провідному стовпці є нульовий елемент, то рядок, в якій він знаходиться, при Жорданова виключення не змінюється.

Розглянемо приклади розв'язання систем методом Жордана-Гаусса.

Метод Жордана-Гаусса

Випишемо розширену матрицю системи

Метод Жордана-Гаусса

Вибираємо провідний елемент (ведучий елемент будемо виділяти рамкою):

Метод Жордана-Гаусса

Виконаємо Жорданова виключення з провідним елементом а13 = 1.

1) розділимо провідний рядок на 1;

2) заповнимо вільні місця в третьому стовпці нулями;

3) в провідному стовпці у другому рядку є нульовий елемент (А23 = 0), тому другий рядок перепишемо без змін (зауваження 3);

4) інші елементи матриці (а саме чотири залишилися елемента третього рядка) перерахуємо за «правилом прямокутника».

Метод Жордана-Гаусса

У вийшла матриці пометим галочкою перший рядок:

Метод Жордана-Гаусса

Тепер в цій матриці виберемо провідний (будь-який ненульовий) елемент в будь-який Непомічені рядку і в будь-якому стовпці, крім останнього, наприклад, а21 = 1.

Метод Жордана-Гаусса

Виконаємо Жорданова виключення з провідним елементом а21 = 1:

1) розділимо провідний рядок на 1;

2) заповнимо вільні місця в першому стовпці нулями;

3) у провідній рядку в третьому стовпці є нульовий елемент (А23 = 0), тому третій стовпець перепишемо без змін (зауваження 2);

4) інші елементи матриці перерахуємо за «правилом прямокутника».

Помітимо галочками провідну (другу) рядок і рядок, позначену раніше.

В результаті вийде матриця:

Метод Жордана-Гаусса

В останній матриці всі елементи третього рядка, крім елемента розташованого в останньому стовпці, дорівнюють нулю. Отже, дана система несумісна (п. 4 ст алгоритмі методу Жордана-Гаусса розв'язування систем лінійних рівнянь).

ВІДПОВІДЬ: Система несовместна.

Метод Жордана-Гаусса