Метод контурних струмів приклади розв’язання задач

У кожній електричного кола є так звані Р - ребра (вони ж гілки, ланки, ділянки) і У - вузли. Для її опису існує система рівнянь, в яких використовуються два правила Кірхгофа. У них, в якості незалежних змінних, виступають струми ребер. Тому кількість незалежних змінних буде дорівнює кількості рівнянь, що дає можливість нормального вирішення цієї системи.

На практиці використовуються певні методики, спрямовані на скорочення числа рівнянь. Серед них дуже часто використовується метод контурних струмів, що дозволяє виконувати складні розрахунки і отримувати досить точні результати.

Суть методу контурних струмів

Основні принципи даного методу грунтуються на тому факті, що протікають в ребрах ланцюга струми, не всі вважаються незалежними. Присутні в системі У-1 рівняння для вузлів, чітко показують залежність від них У-1 струмів. При виділенні в електричному ланцюзі незалежного струму Р-У + 1, вся система може бути скорочена до рівнянь Р-У + 1. Таким чином, метод контурних струмів являє собою дуже просте і зручне виділення в ланцюзі незалежних струмів Р-У + 1.

Використання даного способу розрахунків допускає, що в кожному незалежному контурі Р-У + 1 здійснюється циркуляція певного віртуального контурного струму. Якщо будь-яка ребро відноситься лише до одного конкретного контуру, то значення протікає в ньому реального струму дорівнюватиме затурного. У тому випадку, коли ребро входить до складу відразу кількох контурів, висока напруга, яка в ньому, буде являти собою суму, що включає в себе відповідні контурні струми. У цьому разі він враховує напрямок обходу контурів. Незалежними контурами перекривається практично вся схема, тому струм, що протікає в якому завгодно ребрі може бути виражений шляхом контурних струмів, що становлять повну систему всіх струмів.

Для того щоб побудувати систему незалежних контурів, використовується простий і наочний метод створення планарних графів. На даній схемі гілки і вузли ланцюга розміщуються на площині таким чином, що взаємне те ребер повністю виключається. За допомогою цього методу площину розбивається на області, обмежені замкнутими ланцюжками ребер. Саме вони і складають систему незалежних контурів. Даний метод найбільше підходить для ручних розрахунків схем. Однак його застосування може стати важким або зовсім неможливим, якщо розглянута схема не вкладається в рамки планарного графа.

Іншим способом розрахунків служить метод виділення максимального дерева. Саме дерево представлено у вигляді підмножини ланок електричного кола і є однозв'язного графом, в якому відсутні замкнуті контури. Для того щоб воно з'явилося, з ланцюга поступово виключаються деякі ланки. Дерево стає максимальним, коли до нього додається будь-який виключена ланка, в результаті чого утворюється контур.

Застосування методу виділення максимального дерева являє собою послідовне виключення з ланцюга заздалегідь встановлених ланок відповідно до певних правил. Кожен крок у ланцюзі передбачає довільне виключення однієї ланки. Якщо такий виняток порушує однозв'язного графа, розбиваючи його на дві окремі частини, в цьому випадку ланка може повернутися назад в ланцюг. Якщо граф залишається однозв'язного, то і ланка залишається виключеним. В кінцевому підсумку, кількість ланок, які були виключені з ланцюга, виявляється рівною кількості незалежних контурів, розташованих в схемі. Отримання кожного нового незалежного контуру пов'язано з приєднанням до електричного кола конкретного виключеного ланки.

Застосування методу контурних струмів для розрахунку ланцюга

Відповідно до цієї методики, невідомими величинами є розрахункові або контурні струми, імовірно що протікають у всіх незалежних контурах. У зв'язку з цим, все невідомі струми і рівняння в системі, дорівнюють кількості незалежних контурів електричного кола.

Токи гілок відповідно до цього методом розраховуються наступним чином:

• В першу чергу викреслюється схема ланцюга з позначенням всіх її елементів.
• Далі визначається розташування всіх незалежних контурів.
• Напрямки протікання контурних струмів задаються довільно за годинниковою або проти годинникової стрілки в кожному незалежному контурі. Вони позначаються з використанням цифрових або комбінованих символів.
• Згідно з другим законом Кірхгофа, що зачіпає контурні струми, складаються рівняння для всіх незалежних контурів. У записаному рівність напрямку обходу контуру і контурного струму цього ж контуру збігаються. Необхідно враховувати і ту обставину, що в гілках, розташованих поруч, протікають власні контурні струми. Падіння напруги споживачів береться окремо від кожного струму.
• Наступним етапом є рішення отриманої системи будь-яким зручним методом, і остаточне визначення контурних струмів.
• Потрібно задати напрямок реальних струмів у всіх гілках і позначити їх окремої маркуванням, щоб не переплутати з контурними.
• Далі потрібно від контурних струмів перейти до реальних, виходячи з того, що значення реального струму конкретної галузі становить алгебраїчну суму контурних струмів, що протікають по цій гілці.

Якщо напрямок контурного струму збігається з напрямком реального струму, то при виконанні алгебраїчного підсумовування математичний знак не змінюється. В іншому випадку значення контурного струму потрібно помножити на -1.

Метод контурних струмів дуже часто застосовується для розрахунків складних ланцюгів. Як приклад для наведеної схеми потрібно задати наступні параметри: Е1 = 24В, Е2 = 12В, r1 = r2 = 4 Ом, r3 = 1 Ом, r4 = 3 Ом.

Для вирішення цього складного завдання складаються два рівняння, що відповідають двом незалежним контурам. Напрямок контурних струмів буде за годинниковою стрілкою і позначається I11 і I22. На підставі другого закону Кірхгофа складаються такі рівняння:

Після рішення системи виходять контурні струми зі значенням I11 = I22 = 3 А. Далі довільно позначається напрям реальних струмів, як I1, I2, I3. Всі вони мають однаковий напрямок - вгору по вертикалі. Після цього виконується перехід від контурних до реальних. У першій гілці є течія тільки одного контурного струму т I11. Його напрямок збігається з реальним струмом, тому I1 + I11 = 3 А.

Формування реального струму в другій гілці здійснюється за рахунок двох контурних струмів I11 і I22. Напрямок струму I22 збігається з реальним, а напрямок I11 буде строго протилежно реальному. Таким чином, I2 = I22 - I11 = 3 - 3 = 0 А. У третій гілці I3 спостерігається протягом лише контурного струму I22. Його напрямок буде протилежним напрямку реального струму, тому в даному випадку розрахунки виглядають таким чином: I3 = -I22 = -3А.

Основною позитивною якістю методу контурних струмів в порівнянні з обчисленнями за законами Кірхгофа, є значно менша кількість рівнянь, які використовуються для обчислень. Проте, тут присутні певні складності. Наприклад, реальні струми гілок не завжди вдається визначити швидко і з високою точністю.