метод Гаусса

Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними. якщо безліч всіх їх рішень збігається.

Елементарні перетворення системи рівнянь - це:

1. Викреслювання зі системи тривіальних рівнянь, тобто таких, у яких все коефіцієнти дорівнюють нулю;
2. Множення будь-якого рівняння на число, відмінне від нуля;
3. Додаток до будь-якого i -му рівняння будь-якого j-то рівняння, помноженого на будь-яке число.

Мінлива xi називається вільною. якщо ця змінна не є дозволеною, а вся система рівнянь - є дозволеною.

Теорема. Елементарні перетворення переводять систему рівнянь в рівносильну.

Сенс методу Гаусса полягає в тому, щоб перетворити вихідну систему рівнянь і отримати рівносильну дозволену або рівносильну несумісні систему.

Отже, метод Гаусса складається з наступних кроків:

1. Розглянемо перше рівняння. Виберемо перший ненульовий коефіцієнт і розділимо всі рівняння на нього. Отримаємо рівняння, в яке деяка змінна xi входить з коефіцієнтом 1;
2. Віднімемо це рівняння з усіх інших, примножуючи його на такі числа, щоб коефіцієнти при змінної xi в інших рівняннях обнулились. Отримаємо систему, дозволену щодо змінної xi. і рівносильну вихідної;
3. Якщо виникають тривіальні рівняння (рідко, але буває, наприклад, 0 = 0), викреслюємо їх з системи. В результаті рівнянь стає на одне менше;
4. Повторюємо попередні кроки не більше n раз, де n - число рівнянь в системі. Кожен раз вибираємо для «обробки» нову змінну. Якщо виникають суперечливі рівняння (наприклад, 0 = 8), система несумісна.

В результаті через кілька кроків отримаємо або дозволену систему (можливо, з вільними змінними), або несумісні. Дозволені системи розпадаються на два випадки:

1. Число змінних дорівнює числу рівнянь. Значить, система визначена;
2. Число змінних більше числа рівнянь. Збираємо всі вільні змінні справа - отримуємо формули для дозволених змінних. Ці формули так і записуються у відповідь.

От і все! Система лінійних рівнянь вирішена! Це досить простий алгоритм, і для його освоєння вам не обов'язково звертатися до репетитора вищої з математики. Розглянемо приклад:

Завдання. Вирішити систему рівнянь:

1. Віднімаємо перше рівняння з другого і третього - отримаємо дозволену змінну x 1;
2. Множимо друге рівняння на (-1), а третє рівняння ділимо на (-3) - отримаємо два рівняння, в яких змінна x 2 входить з коефіцієнтом 1;
3. Додаємо друге рівняння до першого, а з третього - віднімаємо. Отримаємо дозволену змінну x 2;
4. Нарешті, віднімаємо третє рівняння з першого - отримуємо дозволену змінну x 3;
5. Отримали дозволену систему, записуємо відповідь.

Загальне рішення спільної системи лінійних рівнянь - це нова система, рівносильна вихідної, в якій всі дозволені змінні виражені через вільні.

Коли може знадобитися спільне рішення? Якщо доводиться робити менше кроків, ніж k (k - це скільки всього рівнянь). Однак причин, через які процес закінчується на певному етапі l

1. Після l -го кроку вийшла система, яка не містить рівняння з номером (l + 1). Насправді це добре, тому що дозволена система все одно отримана - навіть на кілька кроків раніше.
2. Після l -го кроку отримали рівняння, в якому все коефіцієнти при змінних дорівнюють нулю, а вільний коефіцієнт відмінний від нуля. Це суперечливе рівняння, а, отже, система несумісна.

Важливо розуміти, що виникнення суперечливого рівняння за методом Гаусса - це достатня підстава несумісності. При цьому зауважимо, що в результаті l -го кроку не може залишитися тривіальних рівнянь - всі вони викреслюються прямо в процесі.

Завдання. Дослідити спільність і знайти спільне рішення системи:

1. Віднімаємо перше рівняння, помножене на 4, з другого. А також додаємо перше рівняння до третього - отримаємо дозволену змінну x 1;
2. Віднімаємо третє рівняння, помножене на 2, з другого - отримаємо суперечливе рівняння 0 = -5.

Отже, система несумісна, оскільки виявлено суперечливе рівняння.

Завдання. Дослідити спільність і знайти спільне рішення системи:

1. Віднімаємо перше рівняння з другого (попередньо помноживши на два) і третього - отримаємо дозволену змінну x 1;
2. Віднімаємо друге рівняння з третього. Оскільки всі коефіцієнти в цих рівняннях збігаються, третє рівняння перетвориться в тривіальне. Заодно помножимо друге рівняння на (-1);
3. Віднімаємо з першого рівняння друге - отримаємо дозволену змінну x 2. Вся система рівнянь тепер теж дозволена;
4. Оскільки змінні x 3 і x 4 - вільні, переносимо їх вправо, щоб висловити дозволені змінні. Це і є відповідь.

Отже, система спільна і невизначена, оскільки є дві дозволених змінних (x 1 і x 2) і дві вільних (x 3 і x 4).

1. Робота з формулами в завданні B12
2. Додавання і віднімання дробів
3. теорема Вієта
4. Загальна схема розв'язання задач B15
5. Найбільше і найменше значення

• Безкоштовна підготовка до ЄДІ 7 простих, але дуже корисних уроків + домашнє завдання
•