Метод елементарних перетворень (методи Гаусса і Гаусса-Жордана для знаходження зворотних матриць)
У першій частині було розглянуто спосіб знаходження оберненої матриці за допомогою алгебраїчних доповнень. Тут же ми опишемо інший метод знаходження зворотних матриць: з використанням перетворень методу Гаусса і Гаусса-Жордана. Найчастіше цей метод знаходження оберненої матриці називають методом елементарних перетворень.
Метод елементарних перетворень
Для застосування цього методу в одну матрицю записують задану матрицю $ A $ і одиничну матрицю $ E $, тобто складають матрицю виду $ (A | E) $ (цю матрицю називають також розширеної). Після цього за допомогою елементарних перетворень, які виконуються з рядками розширеної матриці, домагаються того, що матриця зліва від межі стане одиничною, причому розширена матриця набуде вигляду $ \ left (E | A ^ \ right) $. До елементарним перетворенням в даній ситуації відносять такі дії:
- Зміна місць двох рядків.
- Множення всіх елементів рядка на деяке число, не рівне нулю.
- Додаток до елементів одного рядка відповідних елементів іншого рядка, помножених на будь-який множник.
Застосовувати зазначені елементарні перетворення можна різними шляхами. Зазвичай вибирають метод Гаусса або метод Гаусса-Жордана. Взагалі, методи Гаусса і Гаусса-Жордана призначені для вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь, а не для знаходження зворотних матриць. Фразу «застосування методу Гаусса для знаходження оберненої матриці» тут треба розуміти як «застосування операцій, властивих методу Гаусса, для знаходження оберненої матриці».
Нумерація прикладів продовжена з першої частини. У прикладах №5 і №6 розглянуто застосування методу Гаусса для знаходження оберненої матриці, а в прикладах №7 і №8 розібрано використання методу Гаусса-Жордана. Слід зазначити, що якщо в ході рішення все елементи деякого рядка або стовпця матриці, розташованої до риси, обнулились, то зворотної матриці не існує.
Знайти матрицю $ A ^ $, якщо $ A = \ left (\ begin 7 4 6 \\ 2 5 -4 \\ 1 -1 3 \ end \ right) $.
У цьому прикладі буде знайдена зворотна матриця методом Гаусса. Розширена матриця, що має в загальному випадку вид $ (A | E) $, в даному прикладі прийме таку форму: $ \ left (\ begin 7 4 6 1 0 0 \\ 2 5 -4 0 1 0 \\ 1 -1 3 0 0 1 \ end \ right) $.
Мета: за допомогою елементарних перетворень привести розширену матрицю до вигляду $ \ left (E | A ^ \ right) $. Застосуємо ті ж операції, що застосовуються при вирішенні систем лінійних рівнянь методом Гаусса. Для застосування методу Гаусса зручно, коли першим елементом першого рядка розширеної матриці є одиниця. Щоб домогтися цього, поміняємо місцями першу і третю рядки розширеній матриці, яка стане такою: $ \ left (\ begin 1 -1 3 0 0 1 \\ 2 5 -4 0 1 0 \\ 7 4 6 1 0 0 \ end \ right) $.
Тепер приступимо до вирішення. Метод Гаусса ділиться на два етапи: прямий хід і зворотний (докладний опис цього методу для вирішення систем рівнянь дано в прикладах відповідної теми). Ті ж два етапи будуть застосовані і в процесі відшукання оберненої матриці.
прямий хід
За допомогою першого рядка Обнуляємо елементи першого стовпчика, розташовані під першим рядком:
Точно так же виконується і дію $ III-7 \ cdot I $. Якщо виникають складнощі з виконанням цих операцій, їх можна виконати окремо (аналогічно показаному вище дії $ II-2 \ cdot I $), а результат потім внести в розширену матрицю.
За допомогою другого рядка Обнуляємо елемент другого шпальти, розташований під другим рядком:
Розділимо третій рядок на 5:
Прямий хід закінчено. Всі елементи, розташовані під головною діагоналлю матриці до риси, обнулились.
Зворотній хід
За допомогою третього рядка Обнуляємо елементи третього стовпця, розташовані над третім рядком:
Перед переходом до наступного кроку розділимо другий рядок на $ 7 $:
За допомогою другого рядка Обнуляємо елементи другого стовпця, розташовані над другим рядком:
Перетворення закінчені, зворотна матриця методом Гаусса знайдено: $ A ^ = \ left (\ begin -11/5 18/5 46/5 \\ 2 -3 -8 \\ 7/5 -11/5 -27/5 \ end \ right) $. Перевірку, при необхідності, можна зробити так само, як і в попередніх прикладах. Якщо пропустити всі пояснення, то рішення набуде вигляду:
Відповідь. $ A ^ = \ left (\ begin -11/5 18/5 46/5 \\ 2 -3 -8 \\ 7/5 -11/5 -27/5 \ end \ right) $.
Знайти матрицю $ A ^ $, якщо $ A = \ left (\ begin -5 4 1 0 \\ 2 3 -2 1 \\ 0 7 -4 -3 \\ 1 4 0 6 \ end \ right) $.
прямий хід
Перетворення прямого ходу завершені. Всі елементи, розташовані під головною діагоналлю матриці зліва від межі, обнулились.
Зворотній хід
Зворотній матриця методом Гаусса знайдена, $ A ^ = \ left (\ begin -13/14 -75/8 31/8 7/2 \\ -19/8 -117/16 49/16 11/4 \\ -23/4 -141/8 57/8 13/2 \\ 17/8 103/6 -43/16 -9/4 \ end \ right) $. Перевірку, при необхідності, проводимо так само, як і в прикладах №2 і №3.
Відповідь. $ A ^ = \ left (\ begin -13/14 -75/8 31/8 7/2 \\ -19/8 -117/16 49/16 11/4 \\ -23/4 -141/8 57/8 13/2 \\ 17/8 103/6 -43/16 -9/4 \ end \ right) $.
Знайти матрицю $ A ^ $, якщо $ A = \ left (\ begin 2 3 4 \\ 7 1 9 \\ -4 5 -2 \ end \ right) $.
Для знаходження оберненої матриці застосуємо операції, характерні методу Гаусса-Жордана. Відмінність від методу Гаусса, розглянутого в попередніх прикладах №5 і №6. полягає в тому, що рішення здійснюється в один етап. Нагадаю, що метод Гаусса ділиться на 2 етапи: прямий хід ( «робимо» нулі під головною діагоналлю матриці до риси) і зворотний хід (Обнуляємо елементи над головною діагоналлю матриці до риси). Для обчислення зворотної матриці методом Гаусса-Жордана двох стадій рішення не буде потрібно. Для початку складемо розширену матрицю: $ (A | E) $:
$$ (A | E) = \ left (\ begin 2 3 4 1 0 0 \\ 7 1 9 0 1 0 \\ -4 5 -2 0 0 1 \ end \ right) $$
Обнулив всі елементи першого стовпчика крім одного. У першому стовпчику всі елементи відмінні від нуля, тому можемо вибрати будь-який елемент. Візьмемо, наприклад, $ (- 4) $:
Обраний елемент $ (- 4) $ знаходиться в третьому рядку, тому саме третій рядок ми використовуємо для обнулення виділених елементів першого стовпця:
Зробимо так, щоб перший елемент третього рядка став дорівнює одиниці. Для цього розділимо елементи третього рядка розширеної матриці на $ (- 4) $:
Тепер приступимо до обнуління відповідних елементів першого стовпця:
У подальші кроки використовувати третій рядок вже буде не можна, бо ми її вже застосували на першому кроці.
Виберемо якийсь не дорівнює нулю елемент другого шпальти і обнулив всі інші елементи другого стовпчика. Ми можемо вибрати будь-який з двох елементів: $ \ frac $ або $ \ frac $. Елемент $ \ left (- \ frac \ right) $ вибрати не можна, бо він розташований в третьому рядку, яку ми використовували на попередньому кроці. Виберемо елемент $ \ frac $, який знаходиться в першому рядку. Зробимо так, щоб замість $ \ frac $ в першому рядку стала одиниця:
Тепер обнулив відповідні елементи другого стовпця:
У подальших міркуваннях перший рядок використовувати не можна.
Потрібно обнулити всі елементи третього стовпця крім одного. Нам треба вибрати якийсь відмінний від нуля елемент третього стовпчика. Однак ми не можемо взяти $ \ frac $ або $ \ frac $, бо ці елементи розташовані в першій і третій рядках, які ми використовували раніше. Вибір невеликий: залишається лише елемент $ \ frac $, який знаходиться у другому рядку. Розділимо всі елементи другого рядка на $ \ frac $:
Тепер обнулив відповідні елементи третього стовпця:
Перетворення за методом Гаусса-Жордана закінчені. Залишилося лише зробити так, щоб матриця до риси стала одиничною. Для цього доведеться міняти порядок рядків. Для початку поміняємо місцями першу і третю рядки:
$$ \ left (\ begin 1 0 0 47/4 -13/2 -23/4 \\ 0 0 1 -39/4 11/2 19/4 \\ 0 1 0 11/2 -3 -5/2 \ end \ right) $$
Тепер поміняємо місцями другу і третю рядки:
$$ \ left (\ begin 1 0 0 47/4 -13/2 -23/4 \\ 0 1 0 11/2 -3 -5/2 \\ 0 0 1 -39/4 11/2 19/4 \ end \ right) $$
Отже, $ A ^ = \ left (\ begin 47/4 -13/2 -23/4 \\ 11/2 -3 -5/2 \\ -39/4 11/2 19/4 \ end \ right) $. Природно, що рішення можна провести і по-іншому, вибираючи елементи, які стоять на головній діагоналі. Зазвичай саме так і роблять, бо в такому разі в кінці рішення не доведеться міняти місцями рядки. Я привів попереднє рішення лише з однією метою: показати, що вибір рядка на кожному кроці не є принциповим. Якщо вибирати на кожному кроці діагональні елементи, то рішення стане таким:
З останньої матриці маємо: $ A ^ = \ left (\ begin 47/4 -13/2 -23/4 \\ 11/2 -3 -5/2 \\ -39/4 11/2 19/4 \ end \ right) $
Зворотній матриця методом Гаусса-Жордана отримана, залишилося лише записати відповідь.
Відповідь. $ A ^ = \ left (\ begin 47/4 -13/2 -23/4 \\ 11/2 -3 -5/2 \\ -39/4 11/2 19/4 \ end \ right) $.
Знайти матрицю $ A ^ $, якщо $ A = \ left (\ begin 1 1 1 0 \\ 2 4 0 1 \\ 0 17 2 -3 \\ -1 4 0 -1 \ end \ right) $.
За допомогою першого рядка Обнуляємо відповідні елементи першого стовпчика:
Використовуючи другий рядок Обнуляємо відповідні елементи другого стовпця:
Використовуючи третій рядок Обнуляємо відповідні елементи третього стовпця:
Використовуючи четверту рядок Обнуляємо відповідні елементи четвертого стовпця:
Отже, $ A ^ = \ left (\ begin -16/5 -3/5 8/5 -27/5 \\ 2/5 1/5 -1/5 4/5 \\ 19/5 2/5 -7/5 23/5 \\ 24/5 7/5 -12/5 38/5 \ end \ right) $. Якщо пропустити всі пояснення, то рішення набуде вигляду:
Відповідь. $ A ^ = \ left (\ begin -16/5 -3/5 8/5 -27/5 \\ 2/5 1/5 -1/5 4/5 \\ 19/5 2/5 -7/5 23/5 \\ 24/5 7/5 -12/5 38/5 \ end \ right) $.
Якщо в ході рішення діагональний елемент обнулився, то можна поміняти місцями рядки. Наприклад, в матриці $ B = \ left (\ begin 1 5 11 10 0 \\ 0 0 9 5 -6 \\ 0 7 1 -1 -3 \\ 0 -11 8 -9 12 \\ 0 0 6 -3 25 \ end \ right) $ відповідні елементи першого стовпчика обнулені. Потрібно переходити до обнуління елементів другого стовпця, але $ b_ = 0 $. Поміняємо місцями другу і третю рядки матриці $ B $: $ \ left (\ begin 1 5 11 10 0 \\ 0 7 1 -1 -3 \\ 0 0 9 5 -6 \\ 0 -11 8 -9 12 \\ 0 0 6 -3 25 \ end \ right) $. Тепер на місці нуля маємо число 7 і далі продовжуємо стандартні перетворення методу Гаусса-Жордана.
Якщо Вас цікавить метод обчислення зворотної матриці за допомогою алгебраїчних доповнень, то виклад даного способу знаходиться в першій частині.