механіка 7
Лабораторна робота № 7
Приналежності: лабораторна установка маятника Обербека, секундомір, вантажі фіксованою маси, штан-
Мета роботи: вивчення динаміки обертального руху, оціню-ка впливу тертя на точність результатів про-ведений вимірювань, перевірка другого законаНьютона для обертального руху.
I. Теорія маятника Обербека.
В роботі вивчається динаміка обертального руху. У част-ності, експериментально перевіряється рівняння моментів для обертаючи-ня навколо нерухомої осі
де J - момент інерції тіла; e - кутове прискорення;
Мвнеш - сума проекцій на вісь обертання моментів зовнішніх сил.
На рис.1. схематично показаний прилад, за допомогою якого зручно досліджувати рівняння (1). Він називається маятником Обербе-
ка. Маятник складається з чотирьох стрижнів, укріплених на втулці
під прямим кутом один до одного. Втулка і два шківа різних заради-вусів (r1 іr2) насаджені на загальну вісь. Ось закріплена в підшипн-ках, так що вся система може вільно обертатися навколо горизонтальних-ментальною осі. Момент інерції приладу можна змінювати, пересуваючи зак-репленние на стрижнях циліндричні вантажі відомої маси. Один кінець нитки прикріплений до шківа, а до другого кінця, перекинутого через блок, підвішена платформа відомої маси.
Якщо, намотавши нитку на шків, підняти платформу з вантажем Р на висотуh. а потім відпустити, дозволивши їй вільно падати, то на маховик почне діяти обертовий моментМ.
де d - діаметр шківа, Т - натяг нитки.
Під дією цього постійного моменту маховик починає вра-тися з кутовим прискоренням e. Очевидно, що обертання маховика і поступальний рух платформи з вантажем відбувається за рахунок по-
ціальної енергії навантаженої платформи. Якщо не враховувати втрату
енергії внаслідок тертя в підшипниках осей маховика і блоку, то
можна вважати, що потенційна енергія W повністю переходить в
кінетичну енергію поступального руху платформи з вантажем Wк '
і кінетичну енергію обертання маховика Wк ". У момент, коли
платформа опуститься з висоти h
де J - момент інерції маховика,
mг - маса платформи з вантажем,
g - прискорення вільного падіння,
V - швидкість поступального руху платформи (швидкість на поверхні шківа).
w - кутова швидкість обертання маховика (шківа).
Формулу (3) можна перетворити, користуючись зв'язком між уг-ловой і лінійної швидкостями:
Підставляючи (4) в (3), знаходимо:
Рух платформи з вантажем равноускоренное і, слідчий-но,
де а - прискорення платформи з вантажем.
Підставивши останній вираз в формулу (6), отримуємо вікон-чательно розрахункову формулу для визначення моменту інерції Маят-ника:
Щоб вивести формулу для обчислення моменту сили М. запишемо другий закон Ньютона для грузаР (платформа з вантажем):
де m - маса платформи з вантажем, a - її прискорення.
З рівнянь (2) і (8) отримуємо, що момент сили натягу нитки
Прискорення a пов'язано з кутовим прискоренням e співвідношенням
Крім того на маятник діє момент сил тертя в осі Мтр. З урахуванням цього рівняння (1) має вигляд
Формула (11) дає зв'язок між прискоренням а. яке можна виміряти дослідним шляхом, і моментом інерцііJ. У рівняння (11)
входить прискорення a платформи. Це прискорення можна досить просто
Дійсно, вимірюючи час t. протягом якого платформа з вантажем опускається на расстояніеh. можна знайти ускореніеa:
У формулу (13) входить невідома величина - момент сили тертя МТР. Хоча, інтуїтивно зрозуміло, що момент сили тертя малий,
проте він не настільки малий, щоб їм у формулі (9) можна
було знехтувати. Якщо покласти Мтр = 0, то можна переконатися, що
результати досвіду будуть відрізнятися від залежності (9). можна по
порядкувеличини експериментально визначити Мтр і це потрібно, ко-нечно, зробити на початку роботи. Для цього, за допомогою декількох вантажів збільшуючи сили натягу нитки, знайдіть мінімальне зна-ченіеmог. при якій маятник почне обертатися. Подальші изме ренію потрібно проводити з вантажами массойmг> 10mог. На перший погляд відносну роль моменту сили тертя можна зменшити, якщо взяти вантажі массойmг >> mог. допустимо, грузm = 10 2 mог. Од-нако це не так з двох причин. Перша - збільшення маси вантажу призводить до збільшення сили давленіяN на вісь, а значить і до зростання моменту сили тертя
де f - коефіцієнт тертя,
r - плече сили тертя.
Друга причина полягає в тому, що збільшення m зменшує ча-ма паденіяt. а значить, погіршує точність вимірювання ускореніяa.
За знайденим значенням моментів інерції J1 іJ2 і моментів сілМ1 їм2 можна, виходячи з основного рівняння обертального руху. знайти відповідне значення кутових прискорень e1 і e2.
З іншого боку кутові прискорення e1 і e2 можна знайти і
іншим шляхом, виходячи з чисто кінематичних міркувань, а імен-но, з (10) і (12)
Знайдені дослідним шляхом значення моментів інерції маховика можна порівнювати з їх значеннями, обчислені по загальновідомим
Момент інерції маховика дорівнює сумі моментів складових час-тей - хрестовини, що складається з чотирьох стрижнів, і насаджених на неї чотирьох циліндрів:
де: b - відстань від ризики, нанесеної на стрижні хрестовини до
Н - висота циліндра,
r1 - зовнішній радіус циліндра,
r2 - внутрішній радіус циліндра.
Оскільки висновок формули (7) проводився в припущенні що втрата енергії на подолання сил тертя пренебрежимо мала, зна-
чення моментів інерції, знайдених на досвіді, кілька перевищує
b - відстань від осі обертання до вантажів на хрестовині;
mц - маса одного вантажу на хрестовині;
Lст - довжина стрижня хрестовини;
Rст - радіус стрижня;
mст - маса стрижня без вантажу;
rц - радіус циліндричного вантажу на хрестовині;
lц - утворює циліндричного вантажу;
d - діаметр втулки;
II. Порядок вимірювань.
- за допомогою регульованих ніжок підстави привести колону приладу до вертикального положення. Перевірити, чи не штовхають чи вантажі в корпус верхнього і нижнього фотоелектричних датчиків;
- зрушити рухливий кронштейн на обрану висоту, і так встановити, щоб вантажі падаючи проходили через середину робочого вікна фотоелектричних датчиків;
- з'єднати фотоелектричні датчики 1 і 2 відповідно з гніздами 1 і 2 секундомір;
- провести заземлення приладу;
- включити мережевий шнур вимірювача в мережу живлення;
- натиснути клавішу (МЕРЕЖА), перевіряючи, чи показують все індика-тори обох фотоелектричних датчиків;
- перемістити вантажі в верхнє положення і перевірити, знахо-диться чи схема в стані спокою;
- натиснути клавішу (ПУСК) і перевірити, чи відбулося рух схеми, секундомір виміряв час проходження каламуті гальмування
- натиснути клавішу (СКИДАННЯ) і перевірити, чи відбулося обнулення показань вимірювача і звільнення блокування електромагнітом;
- перенести вантажі в верхнє положення, віджати клавішу (ПУСК) і перевірити, чи відбулася повторна блокування схеми.
Цікавим є експериментально досліджувати дві зави-ності.
Перша - залежність кутового прискорення e від моменту зовнішньої сили Мвнеш = mgr за умови, що момент інерцііJ залишається пос-тоянним.
Якщо на осі ординат відкладати кутове прискорення e, а на
осі абсцис - m * g * r. то, згідно (10), експериментальні точки
повинні лягати на пряму. З (11) видно, що нахил цієї прямої
дорівнює 1 / J. а точка перетину з віссю абсцис даётМтр.
Якщо експериментальні дані підтверджують лінійну зависи-ність e від mgr. то, можна приступити до вивчення другої залежності - залежно моменту інерції J від расстояніяR грузовmц до осі обертання маятника (рис.18).
Згідно з теоремою Гюйгенса-Штейнера
З'ясуємо, як перевірити цю залежність експериментально. Для цього перетворимо співвідношення (11), нехтуючи в ньому малої вели-чиною (моментом сили тертя МТР) в порівнянні з моментомm * g * r. З (10) і (11) маємо
З (17) зрозуміло, як експериментально перевірити залежність (17): потрібно, вибравши постійну масу mг вантажу, вимірювати ускореніеa при різних положеніяхR грузовmц на спицях. Результати через вимірювань зручно зобразити у вигляді точок на координатній площині
XOY, де х = (R / r) 2. y = g / a.
Якщо експериментальні точки в межах точності вимірювань лягають на пряму, то це підтверджує залежність (17), а зна-
Відзначимо, що при виведенні формули (17) ми знехтували моментом сил тертя, тобто вважали, що Мтр <
Роль моменту сил тертя можна оцінити і інакше. Для цього за-мітимо, що якщо маятник в початковий момент обертається з кутовою швидкістю wo. то до моменту зупинки він повернеться на кут f, оп-чати зі співвідношення
де Jwo 2/2 - початкова кінетична енергія обертового маятні-ка, Атт - робота сил тертя. В (18) передбачається, що момент сил тертя є постійною величиною і пов'язаний з кутовим уско-ренієм співвідношенням
де eo - прискорення, яке визначається тільки моментом сил тертя.
З (18) і (19) знаходимо
Нехай n - повне число обертів, яке робить маятник до зупинки, аTo - період обертання маятника на початку руху. Тоді f = 2pn, wo = 2p / To і з (20) отримуємо
Звідси ясно, як на досвіді визначити eo. потрібно виміряти вре-
мя To. за який здійснюється перший оборот, і повне чіслоn
оборотів маятника до зупинки. У всіх подальших вимірах
потрібно стежити, щоб виконувалася нерівність eo < 1. Встановлюємо два вантажу на однаковій відстані R1. на двох взаємно перпендикуляр спицях. Одну з спиць наводимо в го--різонтального положення і, переміщаючи вантаж на протилежній спи-це, добиваємося рівноваги, не змінюючи расстояніяR1. Повертаємо хрестовину на 90 o і добиваємося рівноваги на інших спицях. Переконаний-даемся, що хрестовина врівноважена в будь-якому положенні вантажів (по-Повертаючись хрестовину). ванні цих дослідів визначити, чи добре збалансований маятник. 2. Визначте приблизно мінімальну масу mо. при якій маятник починає обертатися, і оціните момент сил тертя з відповід-носіння де r - радіус шківа, на якому підвішений вантаж mo. 3. Оцініть прискорення eo. виникає під дією моменту сил тертя. Для цього наведіть маятник в обертання, виміряйте времяTo. за яке він здійснює перший оборот, і повне число оборотовn маятника до повної зупинки. Потім за формулою (21) обчисліть eo. Вимірювання повторіть три рази і порівняйте соответс- твующие їм значення eoi. 4. Визначте експериментально залежність кутового приско-ня e маятника від моменту прикладеної сили m * g * r. У цій серії з-вимірювань момент інерції маятника повинен залишатися постійним: J = const. Для визначення залежності e = e * (m * g * r) виміряйте час t. за яке грузm опускається на расстояніеh. Вимірювання часу t для кожного вантажу при постійному значенні h повторіть три рази. Потім знайдіть середнє значення часу падіння вантажу за формулою і визначте середнє прискорення вантажу їх співвідношення (12): Ці виміри й обчислення повторіть для п'яти значень маси m вантажу, причому для всехmг має виконуватися неравенствоmг >> mo. гдеmo - маса перевантаження, страгивает маятник (п.2). Результати вимірювань запишіть в табл.1. V. Визначення похибки вимірювання моменту інерції. Відносна похибка вимірювання моменту інерції визначаються-ється за формулою:
де Jт - теоретичний момент інерції, який визначається за формулою
J е - експериментальний момент інерції, який визначається за форму-ле (7).
VI. Точність вимірювань.
похибка визначення довжини шляху проходження вантажу +1 мм
робоча похибка вимірювання часу не більше 0,02%
робоча похибка визначення моменту інерції не більше 8%
VII. Контрольні питання.
1. Що називається моментом сил? Яка розмірність одиниці його вимірювання в системі СІ?
2. Що називається моментом інерції тіла щодо осі обертання?
3. Запишіть основний закон обертального руху.
4. Як визначити момент сили, що приводить в обертання Маят-ник Обербека?
5. Чому прагнуть зменшувати момент сил тертя? Здавалося б, навіть більшу величину Мтр можна легко врахувати за допомогою урав-
6. Яку з величин в даному експерименті слід вимірювати з найбільшою точністю?
7. Сформулюйте і доведіть теорему Гюйгенса-Штейнера.