Матриця лінійного оператора

Нехай заданий лінійний оператор

, переводить xL1 в yL2:.

.

Тобто для завдання оператора достатньо задати лише образи базисних векторів, тобто

е1,е2. ...,еn.

Покладемо, що ці образи є

Тоді з вищесказаного випливає:

Матриця А, транспонована А T називається матрицею лінійного оператора, k-й стовпець цієї матриці складений з координат вектора

еk в базисі g1 g2 ... gm.

Виявляється, що деякі характеристики цієї матриці не залежать від базисів і характеризують внутрішні властивості оператора. Так, запишемо без докази, що ранг матриці лінійного оператора дорівнює розмірності простору образів. Будемо називати цей ранг - рангом лінійного оператора. Якщо цей ранг збігається з розмірністю простору L, або розмірність простору образів збігається з розмірністю простору прообразів, то оператор

назвемо невироджених.

Якщо безліч образів і безліч прообразів належать одному і тому ж простору, то будемо говорити про перетворення простору саме в себе а оператор цього перетворення будемо називати оператором лінійного перетворення або лінійний оператор. Надалі ми будемо розглядати лінійні оператори та вживати термін оператори.

Зміна матриці лінійного оператора

при переході від одного базису до іншого.

Ми вже згадували, що матриця лінійного оператора залежить від базису. Розглянемо питання про залежність матриці від базису в загальному випадку. Нехай заданий оператор у =

х.

В деякому базисі йому відповідає лінійне перетворення Y = AX.

Введемо новий базис. Якщо матриця переходу є Т, то X = TX * Y = TY *.

Звідси маємо TY * = ATX *; Y * = T -1 ATX *.

Або Y * = A * X *; A * = T -1 AT.

Відзначимо, що матриці А і А * називаються подібними (Т - невироджена матриця).

Власні числа і власні вектори

Ненульовий вектор х назвемо власним вектором лінійного оператора

, якщо існує таке чісло, що виконується рівність:х = х.

Число називается власним числом або власним значенням оператора

.

Оскільки оператор

перетворює простір саме в себе, то матриця цього оператора квадратна. Якщо базис простору n>, то

Запишемо в координатної формі рівність

х = х:

Ця система лінійних однорідних рівнянь відносно координат шуканого вектора х. Оскільки х 0, то системи повинна мати нульове рішення. Значить, для цього, має бути det (A -E) = 0, або

Рівняння  () = 0 називається характеристичним рівнянням для лінійного оператора

, а многочлен

ступеня n щодо - характеристичним многочленом.

За основною теоремою алгебри, кожен многочлен ступеня n має n коренів з урахуванням їх кратності. Значить, характеристичне рівняння має принаймні один корінь, тобто кожен оператор має хоча б один власний вектор. Правда в матеріальному просторі многочлен може не мати речових коренів і тому в нашому лінійному просторі не кожен лінійний оператор має власні вектори.

Т.ч. для знаходження власного вектора треба скласти характеристичний многочлен, знайти всі його корені, які будуть власними числами. Після цього потрібно кожну власну число i підставити вместов систему і знайти всі її лінійно - незалежні рішення. Число таких рішень є n - ri. де ri - ранг матриці A -i E. Звідси випливає, що розмірність простору власних векторів, що відповідають одному власним чіслуi дорівнює n - ri.

Згадаймо, що матриця лінійного оператора змінюється при зміні базису:

Чи знайдеться такий базис, в якому матриця А * мала б діагональний вид? Справедлива наступна теорема: для того, щоб матріцаА в даному базисі ek> була діагональною, необхідно і достатньо, щоб базисні векториek були власними векторами цього оператора.

Доказ: нехай ek є власними векторами оператораА. тоді

А звідси матриця А необхідно має вигляд

і навпаки. Нехай А - діагональна матриця оператора А в даному базисі ek>. тоді соотношннія

візьмуть вид (*), а це означає, що ek - власні вектори.

Запишемо без докази властивість лінійного оператора: власні вектори лінійного оператора, що відповідають різним власним значенням, лінійно незалежні.

Визначення. назвемо оператором. матриця якого наводиться до діагонального вигляду, оператором простої структури. Запишемо без докази, що оператор має просту структуру в двох випадках: 1) характеристичний многочлен імеетn різних коренів; 2) для кожного корняi кратностіki ранг матриці (A -iE) був равенn-ki.

Розглянемо, чому дорівнює визначник матриці лінійного оператора А при зміні базису.

det (A *) = det (T -1 AT) = det (T -1) det (A) det (T) = det (A) det (T -1 T) = det (A) det (E) = det (A)

Таким чином, можна зробити висновок, що величина визначника матриці лінійного оператора не залежить від вибору базису. Для пошуку власних чисел лінійного оператора ми складали характеристичний многочлен

Оскільки величина визначника не залежить від вибору базису, то велічіниdk є інваріантами - не залежить від базису. Прийнято називати коефіцієнт прі n -1: dn-1 = a11 + a22 + ... + ann слідом оператораА і обозначатьtrA (trace- слід).

Неважко простежити зв'язок між інваріантами перетворення систем координат, з якими ми стикалися при перетворенні рівнянь поверхонь другого порядку:

і коефіцієнтами характеристичного рівняння dk для лінійного оператора, що діє в тривимірному просторі. пріn = 3. З огляду на це, можна записати зручну формулу для знаходження характеристичного рівняння лінійного оператора, Дейст в тривимірному просторі: