Матрична алгебра - зворотна матриця

Матрична алгебра - Зворотній матриця

Зворотною матрицею називається матриця, яка при множенні як справа, так і зліва на дану матрицю дає одиничну матрицю.
Позначимо зворотну матрицю до матриці А через, тоді як визначено отримаємо:

де Е - одинична матриця.
Квадратна матриця називається неособенной (невироджених), якщо її визначник не дорівнює нулю. В іншому випадку вона називається особливою (виродженої) або сингулярной.

Має місце теорема: будь-яка неособлива матриця має обернену матрицю.

Операція знаходження оберненої матриці називається зверненням матриці. Розглянемо алгоритм звернення матриці. Нехай дана неособлива матриця n-го порядку:

де Δ = det A ≠ 0.

Алгебраїчним доповненням елементаматріци n -го порядку А називається взятий з певним знаком визначник матриці (n -1) -го порядку, отриманої викреслюванням i -ої рядки і j-го стовпця матриці А.

Складемо так звану приєднану матрицю:

де- алгебраїчні доповнення відповідних елементовматріци А.
Зауважимо, що алгебраїчні доповнення елементів рядків матриці А розміщуються у шпальтах матриці Ã. тобто одночасно проводиться транспонування матриці.
Розділивши всі елементи матриці Ã на Δ - величину визначника матриці А. отримаємо в результаті зворотний матрицю:

Відзначимо ряд особливих властивостей зворотної матриці:
1) для даної матриці А її зворотна матриця є єдиною;
2) якщо існує зворотна матриця, то права зворотна і ліва зворотна матриці збігаються з нею;
3) особлива (вироджена) квадратна матриця не має зворотної матриці.

Основні властивості оберненої матриці:
1) визначник оберненої матриці та визначник вихідної матриці є зворотними величинами;
2) зворотна матриця твори квадратних матриць дорівнює проізведеніюобратних матриць сомножителей, взятому в зворотному порядку:

3) транспонована зворотна матриця дорівнює зворотної матриці від даної транспонованою матриці:

П р и м і р. Обчислити матрицю, зворотну даної:

Р і ш е н і е. Визначник матриці А дорівнює:

Отже, матриця А неособлива. Приєднана матриця Ã має вигляд:

Розділивши всі елементи приєднаної матриці Ã на Δ = 1, отримаємо зворотну матрицю:

Перевіримо, що дійсно,

Таким чином, знайдена матриця є зворотною для заданої матриці А.