Mathmetod - метод Гаусса

Визначення. Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо безліч всіх їх рішень збігається.
Визначення. Елементарні перетворення системи рівнянь - це:

1. Викреслювання зі системи тривіальних рівнянь, тобто таких, у яких все коефіцієнти дорівнюють нулю;
2. Множення будь-якого рівняння на число, відмінне від нуля;
3. Додаток до будь-якого i -му рівняння будь-якого j-то рівняння, помноженого на будь-яке число.

Визначення. Мінлива xi називається вільної, якщо ця змінна не є дозволеною, а вся система рівнянь - є дозволеною.
Теорема. Елементарні перетворення переводять систему рівнянь в рівносильну.
Сенс методу Гаусса полягає в тому, щоб перетворити вихідну систему рівнянь і отримати рівносильну дозволену або рівносильну несумісні систему.
Метод Гаусса прекрасно підходить для вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Він має низку переваг у порівнянні з іншими методами:

• по-перше, немає необхідності попередньо досліджувати систему рівнянь на сумісність;

• по-друге, методом Гаусса можна вирішувати не тільки СЛАР, в яких число рівнянь збігається з кількістю невідомих змінних і основна матриця системи невироджених, але і системи рівнянь, в яких число рівнянь не збігається з кількістю невідомих змінних або визначник основної матриці дорівнює нулю;

• по-третє, метод Гаусса призводить до результату при порівняно невеликій кількості обчислювальних операцій.

Отже, метод Гаусса складається з наступних кроків:

1. Розглянемо перше рівняння. Виберемо перший ненульовий коефіцієнт і розділимо всі рівняння на нього. Отримаємо рівняння, в яке деяка змінна xi входить з коефіцієнтом 1;
2. Віднімемо це рівняння з усіх інших, примножуючи його на такі числа, щоб коефіцієнти при змінної xi в інших рівняннях обнулились. Отримаємо систему, дозволену щодо змінної xi. і рівносильну вихідної;
3. Якщо виникають тривіальні рівняння (рідко, але буває, наприклад, 0 = 0), викреслюємо їх з системи. В результаті рівнянь стає на одне менше;
4. Повторюємо попередні кроки не більше n раз, де n - число рівнянь в системі. Кожен раз вибираємо для «обробки» нову змінну. Якщо виникають суперечливі рівняння (наприклад, 0 = 8), система несумісна.

В результаті через кілька кроків отримаємо або дозволену систему (можливо, з вільними змінними), або несумісні. Дозволені системи розпадаються на два випадки:

1. Число змінних дорівнює числу рівнянь. Значить, система визначена;
2. Число змінних більше числа рівнянь. Збираємо всі вільні змінні справа - отримуємо формули для дозволених змінних. Ці формули так і записуються у відповідь.

Приклади розв'язання матриць методом Гаусса:

Create your own Playlist on MentorMob!