Mathcad-довідник з вищої математики

Завдання лінійної алгебри в середовищі пакету Mathcad

Щоб визначити матрицю потрібно:
  1. ввести з клавіатури ім'я матриці і знак присвоювання (для введення знака присвоювання потрібно натиснути на клавіатурі комбінацію клавіш +<:> або клацнути по кнопці<:=> панелі Evaluation);
  2. клацнути по кнопці Vector or Matrix Toolbar в панелі математичних інструментів, щоб відкрити панель матричних операцій Matrix);
  3. відкрити клацанням по кнопці Matrix or Vecto r вікно діалогу визначення розмірності матриці і ввести розмірність матриці: число рядків (Rows), число стовпців (Columns);
  4. закрити вікно діалогу, натиснувши кнопку Ok.

У робочому документі, праворуч від знака присвоювання, відкривається поле введення матриці з позначеними позиціями для введення елементів.
Для того, щоб ввести елемент матриці, встановіть курсор в поміченої позиції і введіть з клавіатури число або вираз.

Номер першого рядка (стовпчика) матриці або першої компоненти вектора, зберігається в Mathcad в змінний ORIGIN.
За замовчуванням в Mathcad координати векторів, стовпці і рядки матриці нумеруються починаючи з 0 (ORIGIN: = 0). Оскільки в математичного запису частіше використовується нумерація з 1, зручно перед початком роботи з матрицями визначати значення змінної ORIGIN рівним 1. виконувати команду
ORIGIN: = 1.

Панель векторних і матричних операцій відкривається клацанням по кнопці Vector and MatrixToolbar в панелі математичних інструментів.

За кнопками панелі закріплені такі функції:

- визначення розмірів матриці;

- введення нижнього індексу;

- обчислення оберненої матриці;

- обчислення визначника матриці: | A | = det A; обчислення довжини вектора | x | ;

- визначення стовпця матриці: - j -й стовпець матриці M;

- обчислення скалярного добутку векторів:;

- обчислення суми компонент вектора:;

- визначення діапазону зміни змінної;

- візуалізація цифрової інформації, збереженої в матриці.

Для того щоб виконати будь-яку операцію за допомогою панелі інструментів, потрібно виділити матрицю і клацнути в панелі по кнопці операції, або клацнути по кнопці в панелі і ввести в поміченої позиції ім'я матриці.

Меню символьних операцій з матрицями (пункт Matrix меню Symbolics) містить три функції:
  • транспонування (Transpose),
  • звернення матриці (Invert),
  • обчислення визначника матриці (Determinant).

Якщо потрібно зробити будь-яку операцію через пункт Matrix меню Symbolics. потрібно виділити матрицю і клацнути в меню по рядку потрібної операції.

Функції, призначені для розв'язання задач лінійної алгебри, можна розділити на три групи.

  • Функції визначення матриць і операцій з блоками матриць.
  • Функції відшукання різних числових характеристик матриць.
  • Функції, що реалізують чисельні алгоритми розв'язання задач лінійної алгебри.
  • matrix (m, n, f) - створює і заповнює матрицю розмірності m x n. елемент якої, розташований в i -му рядку, j -м стовпці, дорівнює значенню f (i, j) функції f (x, y);
  • diag (v) - створює діагональну матриця, елементи головної діагоналі якої зберігаються у векторі v;
  • identity (n) - створює одиничну матрицю порядку n;
  • augment (A, B) - формує матрицю, в перших с т о л б ц а х якій міститься матриця A, а в останніх - матриця B (матриці A і B мають однакове число рядків);
  • stack (A, B) - формує матрицю, в перших з т р о к а х якій міститься матриця A, а в останніх - матриця B (матриці A і B мають однакове число стовпців);
  • submatrix (A, ir, jr, ic, jc) - формує матрицю, яка є блоком матриці A. розташованим в рядках з ir по jr і в стовпчиках з ic по jc, ir <= jr , ic <= jc .

Приклад 1. Приклади виконання функцій matrix, diag, identity, augment, stack, submatrix

  • last (v) - обчислення номера останнього елемента вектора v;
  • lenght (v) - обчислення кількості елементів v вектора;
  • rows (A) - обчислення числа рядків в матриці A;
  • cols (A) - обчислення числа стовпців в матриці A;
  • max (A) - обчислення найбільшого елемента в матриці A;
  • tr (A) - обчислення сліду квадратної матриці A (слід матриці дорівнює сумі її діагональних елементів);
  • rank (A) - обчислення рангу матриці A;
  • norm1 (A), norm2 (A), norme (A), normi (A) - обчислення норм квадратної матриці A.

Приклад 2. Приклади виконання функцій last, length, rows, cols, max, min, tr, rank, norm1, norm2, norm3

  • rref (A) - приведення матриці до ступінчастого вигляду з одиничним базисним мінор (виконуються елементарні операції з рядками матриці);
  • eigenvals (A) - обчислення власних значень квадратної матриці А;
  • eigenvecs (A) - обчислення власних векторів квадратної матриці А; значенням функції є матриця, стовпці якої є власні вектори матриці А; порядок проходження векторів відповідає порядку проходження власних значень, обчислених функцією eigenvals (A);
  • eigenvec (A, l) - обчислення власного вектора матриці А, що відповідає власному значенню l;
  • lsolve (A, b) - рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь Ax = b.

Приклад 3. Приклади виконання функцій eigenvals, eigenvecs, eigenvec, lsolve