Математика для економістів

Тут - коефіцієнти системи (перший індекс вказує номер рівняння, другий - номер невідомого), - вільні члени.

Якщо. то система (1) називається однорідною. Якщо хоча б одне. то система називається неоднорідною.

Рішенням (1) називається набір значень невідомих. звертає всі рівняння системи в числові рівності. СЛАР називається вирішуваною (спільної). якщо вона має хоча б одне рішення. В іншому випадку СЛАР називається нерозв'язною (несумісною). Якщо хоча б одне з рівнянь СЛАР не має рішення, то СЛАР несовместна.

СЛАР називається визначеною. якщо має тільки одне рішення і називається невизначеною. якщо має більше одного рішення,

Однорідна СЛАР завжди сумісна, тому що має нульове рішення.

Сукупність усіх рішень СЛАР називається загальним рішенням. Дві СЛАР з однаковим числом невідомих називаються рівносильними (еквівалентними). якщо безлічі їх рішень збігаються. Будь-які дві несумісні СЛАР з однаковим числом невідомих вважаються рівносильними.

Дослідити і вирішити СЛАР - це значить:

1. встановити, сумісна вона або несумісна;
2. якщо вона сумісна, встановити, є вона певною або невизначеною, при цьому:
   • в разі певної системи знайти єдине її рішення;
   • в разі невизначеною системи описати безліч всіх її рішень.

називається матрицею (або головного датчика) системи (1).

називається розширеною матрицею системи (1).

Систему (1) можна записати в матричному вигляді. де - матриця системи, - вектор невідомих, - вектор вільних членів.

Окремим випадком (1) є СЛАР, що складається з одного виду рівняння, наприклад,.

Рівняння виду назвемо «байдужим» рівнянням, тому що цього рівняння задовольняє будь-який набір невідомих.

Елементарними перетвореннями СЛАР називаються такі перетворення:

1. зміна місцями двох рівнянь системи;
2. множення обох частин одного рівняння на число, відмінне від нуля;
3. додаток до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на деяке число.

Нагадаємо кілька визначень для матриць системи (1).

Матрицю назвемо приведеної. якщо в кожній її ненульовий рядку є ненульовий елемент такої, що всі інші елементи стовпця, що містить цей елемент, дорівнюють нулю. Зазначений ненульовий елемент назвемо провідним і будемо укладати його в кутові дужки.

Приклад 1. Матриці

є наведеними, а матриця

наведеної не є, тому що у 2-му рядку немає провідного елементу.

Відзначимо, що ведучий елемент в рядку можна вибрати не єдиним способом.

Наприклад, в матриці

в першому рядку в якості ведучого можна вибрати будь-який ненульовий елемент.

Назвемо рангом матриці число ненульових рядків відповідної їй наведеної матриці (позначається. - наведена матриця матриці).

СЛАР називається наведеної. якщо її основна матриця наведена.

При вирішенні систем лінійних алгебраїчних рівнянь часто замість самих систем виписують їх розширені матриці. так системі

відповідає розширена матриця

Метод Гаусса дослідження СЛАР зводиться до побудови за допомогою елементарних перетворень наведеної СЛАР, равносильной вихідної системі, і подальшого дослідження і вирішення наведеної СЛАР.

Метод Гаусса заснований на наступних двох теоремах.

Теорема 1. СЛАР, отримана з вихідної СЛАР за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, рівносильна вихідної СЛАР.

Теорема 2. Для будь-якої СЛАР існує рівносильна їй наведена СЛАР.

Відзначимо, що, як правило, наведена СЛАР, рівносильна вихідної СЛАР, визначається неєдиним чином (покажемо нижче).

Дослідження наведеної СЛАР розпадається на 2 етапи.

1 етап. Спільність і несумісні

Якщо розширена матриця наведеної СЛАР містить рядок виду. де. тобто сама наведена СЛАР містить рівняння виду

то вона несумісна, тому що . Отже, несумісна і початкова СЛАУ.

Якщо розширена матриця СЛАР містить рядок виду. то їй в системі відповідає «байдуже» рівняння, яке можна відкинути без шкоди для подальшого дослідження, тому що отримаємо рівносильну систему.

Якщо ж наведена СЛАР не містить рівнянь виду (4), то вона сумісна. Отже, сумісна і початкова СЛАУ.

Зауважимо, що поява рівняння виду (4) в процесі побудови наведеної СЛАР вже свідчить про несумісності вихідної СЛАР.

2 етап. Опис спільного рішення

У кожному рядку наведеної СЛАР є провідний елемент. Невідомі, які відповідають провідним елементам, назвемо пов'язаними. інші невідомі - вільними. Наприклад, якщо дана наведена розширена матриця. то пов'язаними невідомими у відповідній СЛАР будуть і. а вільними і.

Так як в кожному рівнянні наведеної СЛАР міститься тільки одне пов'язане невідоме, хоча і визначається неєдиним способом, відсутнє в інших рівняннях, то надаючи вільним невідомим довільні значення, ми єдиним чином визначаємо значення пов'язаних невідомих, а, значить, і рішення СЛАР. Ясно, що при наявності вільних невідомих СЛАР буде невизначеною і має безліч рішень.

Опис спільного рішення дається наступним чином. Нехай, наприклад змінні пов'язані, а змінні вільні, тоді матриця наведеної СЛАР (з точністю до відкинутих нульових рядків) має вигляд