Мала піввісь - це

пов'язані визначення

• Відрізок AB, що проходить через фокуси еліпса, кінці якого лежать на еліпсі, називається великий віссю даного еліпса. Довжина великої осі дорівнює 2a у вищенаведеному рівнянні.
• Відрізок CD, перпендикулярний великої осі еліпса, що проходить через центральну точку великий осі, кінці якого лежать на еліпсі, називається малою віссю еліпса.
• Точка перетину великої і малої осей еліпса називається його центром.
• Точка перетину еліпса з осями називаються його вершинами.
• Відрізки, проведені з центру еліпса до вершин на великій і малій осях називаються, відповідно, велика піввісь і малої півосі еліпса, і позначаються a і b.
• Відстані r1 і r2 від кожного з фокусів до даної точки на еліпсі називаються фокальними радіусами в цій точці.
• Відстань називається фокальним відстанню.
• Ексцентриситетом еліпса називається відношення. Ексцентриситет (також позначається ε) характеризує витягнутість еліпса змінюється. Чим ексцентриситет ближче до нуля, тим еліпс більше нагадує коло і навпаки, чим ексцентриситет ближче до одиниці, тим він більш витягнутий.
• Фокальним параметром називається половина довжини хорди. що проходить через фокус і перпендикулярній великий осі еліпса.
• Відношення довжин малої і великої півосей називається коефіцієнтом стиснення еліпса або еліптичності. . Величина, що дорівнює називається стисненням еліпса. Для окружності коефіцієнт стиснення дорівнює одиниці, стиснення - нулю. Коефіцієнт і ексцентриситет еліпса пов'язані співвідношенням

• Фокальне властивість. Якщо F1 і F2 - фокуси еліпса, то для будь-якої точки X, що належить еліпсу, кут між дотичній в цій точці і прямий (F1X) дорівнює куту між цією дотичній і прямий (F2X).
• Пряма, проведена через середини відрізків, відсічені двома паралельними прямими, що перетинають еліпс, завжди буде проходити через центр еліпса. Це дозволяє побудовою за допомогою циркуля і лінійки легко отримати центр еліпса, а в подальшому осі, вершини і фокуси.
• Еволюта еліпса є астроїда.

Еліпс також можна описати як

Співвідношення між елементами еліпса

Частини еліпса (опис див. В розділі "Пов'язані визначення")

• Мала піввісь:;
• Відстань від фокуса до ближньої вершини. ;
• Відстань від фокуса до далекої вершини. ;
• Зв'язок фокального параметра з півосями і фокусною відстанню:
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
• Зв'язок фокального параметра з видаленням вершин від даного фокусу:
  • ;
  • ;

координатне уявлення

канонічне рівняння

Для будь-якого еліпса можна знайти декартову систему координат таку, що еліпс буде описуватися рівнянням (канонічне рівняння еліпса):

Воно описує еліпс з центром на початку координат, осі якого збігаються з осями координат. Для визначеності покладемо, що В цьому випадку величини a 'і b - відповідно, велика і мала півосі еліпса.

Знаючи піввісь еліпса можна обчислити його фокальное відстань і ексцентриситет:

Координати фокусів еліпса:

Еліпс має дві директриси, рівняння яких можна записати як

Фокальний параметр (тобто половина довжини хорди. Проходить через фокус і перпендикулярній осі еліпса) дорівнює

Рівняння діаметра. сполученого хордам з кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння дотичних. проходять через точку

Рівняння дотичних, що мають даний кутовий коефіцієнт k.

Рівняння нормалі в точці

параметричне рівняння

Канонічне рівняння еліпса може бути параметризрвані:

де - параметр рівняння.

Рівняння в полярних координатах

Якщо прийняти фокус еліпса за полюс, а вісь - за полярну вісь, то його рівняння в полярних координатах матиме вигляд

де e - ексцентриситет, а p - фокальний параметр.

Нехай r1 і r2 відстані до даної точки еліпса з першого і другого фокусів. Нехай, також полюс системи координат знаходиться в першому фокусі, а кут φ відраховується від напрямку на другий полюс. Тоді, з визначення еліпса,

.

.

Виключаючи r2 з останніх двох рівнянь, отримуємо

отримуємо дані рівняння.

Інша рівняння в полярних координатах:

Довжина дуги еліпса

Довжина дуги плоскої лінії визначається за формулою:

Скориставшись параметричних поданням еліпса отримуємо такий вираз:

Одержаний інтеграл належить сімейству еліптичних інтегралів. які в елементарних функціях не беруться, і зводиться до елліпіческому інтегралу другого роду. Зокрема, периметр еліпса дорівнює:

,

Наближені формули для периметра

YNOT: де Максимальна похибка цієї формули

0.3619% при ексцентриситеті еліпса

0.979811 (співвідношення осей

1/5). Похибка завжди позитивна.

Дуже наближена формула

Площа еліпса

Площа еліпса обчислюється за формулою

де і піввісь еліпса.

побудова еліпса

Нехай дано дві взаємно прямі (осі майбутнього еліпса) і два відрізки довжиною a (велика піввісь) і b (мала піввісь). Точку перетину прямих позначимо як O. це центр еліпса.

C допомогою циркуля

1. Розчином циркуля, рівним a. з центром в точці O відзначимо на одній з прямою точки P1 і Р2. а на другий прямий розчином, рівним b - точки Q1 і Q2. Отримані точки є вершинами еліпса. а відрізки P1 Р2 і Q1 Q2 - його велика і мала осі. відповідно.
2. Розчином циркуля, рівним a. з центром в точці Q1 (або Q2) відзначимо на відрізку P1 Р2 точки F1 і F2. Отримані точки є фокусами еліпса.
3. На відрізку P1 Р2 виберемо довільну точку T. Потім за допомогою циркуля накреслив дві окружності: першу - Радус, рівним довжині відрізка TP1. з центром в точці F1 і другу Радус, рівним довжині відрізка TP2. з центром в точці F2. Точки перетину цих кіл належать шуканого еліпсу, тому що сума відстаней з обох фокусів дорівнює довжині великої осі 2a.
4. Повторюючи необхідне число раз кроки попереднього пункту, отримаємо шуканий еліпс.

C допомогою циркуля і лінійки

1. Розчином циркуля, рівним a. з центром в точці O відзначимо на одній з прямою точки P1 і Р2. а на другий прямий розчином, рівним b - точки Q1 і Q2. Отримані точки є вершинами еліпса. а відрізки P1 Р2 і Q1 Q2 - його велика і мала осі. відповідно.
2. За допомогою лінійки проводимо через точку O довільну похилу лінію. Потім розчином циркуля, рівним а. з центром в точці O відзначаємо на ній точку S. а розчином, рівним b - точку R.
3. Потім з точки S опускаємо перепендікуляр на пряму P1 Р2. Для цього довільним розчином циркуля (але більшим, ніж відстань від точки до прямої), з центром в точці S відзначаємо на відрізку P1 Р2 дві точки, переносимо в них циркуль і відзначаємо тим же радіусом точку персеченія кіл S. Потім за допомогою лінійки з'єднуємо точкіS і S. це і є шуканий перпендикуляр.
4. Аналогічним способом опускаємо перепендікуляр з точки R на пряму Q1 Q2.
5. Точка перетину побудованих перпендикулярів належить еліпсу.
6. Повторюючи необхідне число раз кроки чотирьох попередніх пунктів, отримаємо шуканий еліпс.

Дивитися що таке "Мала піввісь" в інших словниках:

Ерос (мала планета № 433) - Ерос (Eros), мала планета № 433, відкрита в 1898 любителем астрономії Г. Віттом в Берліні. Е. відноситься до числа малих планет земної групи, які в своєму русі навколо Сонця можуть близько підходити до Землі. Період обертання Е. навколо Сонця ... ... Велика радянська енциклопедія

Церера (мала планета №1) - Церера Церера у видимому кольорі. Знімок телескопа Хаббла Відкриття Першовідкривач Джузеппе Пьяцца Дата відкриття ... Вікіпедія

Юнона (мала планета № 3) - 3 Юнона [[Файл: | 275px |]] Відкриття A Першовідкривач Карл Хардінг Дата виявлення 1 сентяб ... Вікіпедія