Логарифмічна похідна - студопедія

Якщо похідна від логарифмів - це така солодка музика, то виникає питання, а чи не можна в деяких випадках організувати логарифм штучно? Можна, можливо! І навіть потрібно.

Знайти похідну функції

Схожі приклади ми недавно розглянули. Що робити? Можна послідовно застосувати правило диференціювання приватного, а потім правило диференціювання твори. Недолік методу полягає в тому, що вийде величезна триповерхова дріб, з якої зовсім не хочеться мати справи.

Але в теорії і практиці є така чудова річ, як логарифмічна похідна. Логарифми можна організувати штучно, «навісивши» їх на обидві частини:

Тепер потрібно максимально «розвалити» логарифм правій частині (формули перед очима?). Я розпишу цей процес дуже докладно:

Власне приступаємо до диференціювання.
Укладаємо під штрих обидві частини:

Як бути з лівою частиною?

У лівій частині у нас складна функція. Передбачаю запитання: «Чому, там же одна буква« ігрек »під логарифмом?».

Справа в тому, що ця «одна буква ігрек» - САМА ПО СОБІ Є ФУНКЦІЄЮ (якщо не дуже зрозуміло, зверніться до статті Похідна від функції, заданої неявно). Тому логарифм - це зовнішня функція, а «ігрек» - внутрішня функція. І ми використовуємо правило диференціювання складної функції:

У лівій частині як за помахом чарівної палички у нас «намалювалася» похідна. Далі за правилом пропорції перекидаємо «ігрек» з знаменника лівій частині наверх правій частині:

А тепер згадуємо, про який такий «ігрек» -функції ми міркували при диференціюванні? Дивимося на умова:

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення. Зразок оформлення прикладу даного типу в кінці уроку.

За допомогою логарифмічною похідною можна було вирішити будь-яке із прикладів №№4-7, інша справа, що там функції простіше, і, може бути, використання логарифмічною похідною не дуже-то і виправдано.