Логарифмічна похідна 1
Відношення називається логарифмічною похідною функції f (x)
Логарифмічна похідна - похідна від натурального логарифма модуля (абсолютної величини) - даної функції:
Використовуючи формулу похідної складної функції, знайдемо, що
(*)
Логарифмічну похідну використовують, наприклад, при диференціюванні (знаходженні похідної або диференціала) статечно-показовою функції.
Знайдемо похідну функції у = х x. Оскільки lny = x lnx. легко знайти логарифмічну похідну:
Тепер за допомогою формули (*) отримаємо:
Логарифмічна похідна функції має економічний сенс - відношення швидкості зміни величини у (її похідної) до самої цієї величини - темп зміни у; якщо темп позитивний - швидкість зміни збільшується, якщо від'ємний - швидкість падає.
Похідна функції, заданої неявно і параметрично.
Неявно задана функція
Якщо функція задана рівнянням у = ƒ (х), дозволеним щодо у, то функція задана в явному вигляді (явна функція).
Під неявним завданням функції розуміють завдання функції у вигляді рівняння F (x; y) = 0, не дозволеного щодо у.
Будь-яку явно задану функцію у = ƒ (х) можна записати як неявно задану рівнянням ƒ (х) -у = 0, але не навпаки.
Не завжди легко, а іноді і неможливо вирішити рівняння відносно у (наприклад, у 2 х cosy-1 = 0 або 2 у -х + у = 0).
Якщо неявна функція задана рівнянням F (x; y) = 0, то для знаходження похідної від у по х немає необхідності вирішувати рівняння відносно у: досить продифференцировать це рівняння по x, розглядаючи при цьому у як функцію х, і отримане потім рівняння дозволити щодо у '.
Похідна неявної функції виражається через аргумент х і функцію у.
Знайти похідну функції у, задану рівнянням х 3 + у 3 -3ху = 0.
Рішення: Функція у задана неявно. Диференціюючи по х рівність х 3 + у 3 -3ху = 0. З отриманого співвідношення
3х 2 + 3у 2 · у'-3 (1 · у + х · у ') = 0
слід, що у 2 у'-ху '= у-х 2. т. е. у' = (у-х 2) / (у 2-х).
Функція, задана параметрично
Нехай залежність між аргументом х і функцією у задана параметрично у вигляді двох рівнянь
де t - допоміжна змінна, звана параметром.
Знайдемо похідну у'х. вважаючи, що функції (21.1) мають похідні і що функція х = x (t) має зворотну t = # 966; (х). За правилом диференціювання оберненої функції
Функцію у = ƒ (х), яка визначається параметричними рівняннями (21.1), можна розглядати як складну функцію у = y (t), де t = # 966; (х). За правилом диференціювання складної функції маємо: у'х = y't • t'x. З урахуванням рівності (21.2) отримуємо
Отримана формула дозволяє
знаходити похідну у'х від функції заданої
параметрически, не знаходячи безпосередньої залежності у від х.
<<Пример 21.2
Рішення: Маємо x't = 3t 2. y't = 2t. Отже, у'х = 2t / t 2. т. Е.
У цьому можна переконатися, знайшовши безпосередньо залежність у від х.
Дійсно, Тоді Звідси т. Е. 29.Діфференціал функції, інваріантність форми 1-го диференціала.
Головна лінійна частина приросту функції ADx у визначенні диференційованої функції
Df = f (x) - f (x0) = A (x - x0) + o (x - x0), x®x0
називається диференціалом функції f (x) в точці x0 і позначається
Диференціал залежить від точки x0 і від збільшення Dx. У кожній точці диференціал являє собою лінійну функцію від збільшення Dx.
Якщо в якості опції розглянути f (x) = x. то отримаємо dx = Dx, dy = Adx. Це узгоджується з позначенням Лейбніца.
Геометрична інтерпретація диференціала як збільшення ординати дотичної.
Інваріантність форми першого диференціала
Якщо x - незалежна змінна, то dx = x - x0 (фіксований прирощення). У цьому випадку маємо
т. е. перший диференціал має властивість інваріантності щодо заміни аргументу.
Похідні вищих порядків. Ф-ла Лейбніца.
Похідні вищих порядків
Ясно, що похідна
функції y = f (x) є також функція від x:
Якщо функція f '(x) диференційована, то її похідна позначається символом y' '= f' '(x) і називається другої похідної функції f (x) або похідної функції f (x) другого порядку. Користуючись позначенням
1. Знайти другу похідну функції y = x 4
Р і ш е н і е: Маємо y '= (x 4)' = 4x 3
далі: y '' = (y ')' = (4x 3) '= 12x 2
2. Знайти другу похідну функції y = 3cos (x)
Р і ш е н і е: Маємо y '= (3cos (x))' = -3sin (x)
далі: y '' = (y ')' = (-3sin (x)) '= -3cos (x) 3. Знайти другу похідну функції y = tg (x)
Рішення: Маємо
далі:
Дуже зручно користуватися також позначенням
вказує, що функція y = f (x) була Продиференціювали по x два рази.
Похідна другої похідної, тобто функції y '' = f '' (x). називається третьої похідної функції y = f (x) або похідної функції f (x) третього порядку і позначається символами
Взагалі n -а похідна або похідна n-го порядку функції y = f (x) позначається символами
Припустимо, що функції і мають похідні разом зі своїми похідними до n-го порядку включно. Застосовуючи правило диференціювання добутку двох функцій, отримаємо
Порівняємо ці вирази зі ступенями бинома:
Впадає в очі правило відповідності: щоб отримати формулу для похідної 1-го, 2-го або 3-го порядків від добутку функцій і. потрібно замінити ступеня і в виразі для (де n = 1,2,3) похідними відповідних порядків. Крім того, нульові ступеня величин і слід замінити похідними нульового порядку, маючи на увазі під ними функції і:
.
Узагальнюючи це правило на випадок похідною довільного порядку n. отримаємо формулу Лейбніца,
де - біноміальні коефіцієнти: