Лінійні операції над n-мірними векторами - студопедія

1. Лінійні операції над n - мірними векторами.

2. Розкладання вектора по системі векторів.

Вступ. Простір можна визначити, як деякий безліч, що має структуру.

Простір вважається заданим, якщо між об'єктами безлічі встановлені цілком певні відносини і (або) визначені деякі операції.

Оскільки поняття простору сформувалося в результаті абстрагування і узагальнення тривимірного евклідового простору, то в просторі зазвичай фіксуються відносини подібні за формальними ознаками з цим простором.

Найбільш характерним серед них являетсярасстояніе.

Історично першим сформувалося поняття 3-х мірного геометричного простору, яке в подальшому узагальнювалося і трансформувалося.

Один з варіантів узагальнення:

- збільшення розмірності об'єктів, що становлять простір аж до об'єктів нескінченної розмірності.

- перехід від числових послідовностей як елементів простору до об'єктів, що мають саму різну природу.

Можливість переходу від тривимірних векторів до багатовимірним з'явилася тоді, коли вектор стали розглядати, як упорядковану послідовність n чисел.

Приклад 1 (багатовимірного простору)

Кожна точка фазового простору характеризується впорядкованим набором параметрів, що описують стан об'єкта розгляду.

Економічний стан підприємства може характеризуватися:

Вартістю основних фондів, кількістю працівників, обсягом продукції, що випускається, її собівартістю і т.п. які в сукупності можна розглядати в n - вимірному просторі, а зміни економічного стану - як траєкторію (годограф) руху в цьому просторі станів.

Приклад 2 Тривимірне колірний простір, що складається з векторів, компоненти якого суть інтенсивності червоного, зеленого і синього кольорів.

Змінюючи, інтенсивність цих 3-х кольорів і накладаючи, їх потім один на одного, можна отримувати колірну палітру з необмеженим числом різних відтінків. На цьому принципі заснована робота кольорових електронно-променевих трубок в телевізорах і моніторах комп'ютерів.

Формально перехід від одного кольору або відтінку до іншого можна описати переміщенням від точки до точки в 3-х мірному колірному просторі. При цьому зміна кольору можна виміряти кількісно. використовуючи операції над векторами.

Лінійні операції над n-мірними векторами.

Нехай на якомусь безлічі об'єктів визначені дії додавання і множення на число. Це означає, що зазначені дії мають сенс і результатами їх дій є елементи того ж самого безлічі.

Наприклад. складання визначено на безлічі матриць однієї розмірності, а для матриць різної розмірності складання втрачає сенс.

- множення на дійсне число у множині цілих чисел невизначено, т.к результатом такого множення може виявитися нецілим число (об'єкт іншого безлічі)

Визначення. Лінійним простором називається безліч, на якому визначені операції додавання і множення на число, яке задовольняє наступним умовам:

3. Існує нульовий елемент 0 такий, що для будь-якого x

4. Для будь-якого елементу існує протилежний йому елемент такої, що

5. Нехай c і d - числа, тоді:

Прикладами лінійного простору є:

- простір дійсних чисел.

- безліч геометричних векторів на площині.

- простір матриць фіксованої розмірності.

- простір рішень однорідних лінійних систем і ін.

Будемо розглядати як елементи лінійного простору

n- мірні вектори. як впорядковані набори з n дійсних чисел, називаемихкоордінатамі або компонентами векторів, тобто.

Лінійне простір таких n-мірних векторів називають

n-мірним речовим векторних простором і позначають R n числа xi (i = 1, ... n) -складати вектора,

n- розмірність вектора.

Визначення. Сума n- мірних векторів і новий n - мірний вектор. складові якого дорівнюють сумам відповідних складових складаються векторів, тобто

Складати можна лише вектори однакової розмірності

(3: 1; 9) + (6; 2) - не визначена. (6; 2) (6; 2: 0)

Нехай дано m векторів. тоді лінійна комбінація цих векторів виглядає так:

Скалярний добуток векторів і називається число рівне сумі парних добутків відповідних складових цих векторів, тобто

Визначення. Речовий векторний простір в якому введено скалярний твір, називається евклідовому просторі