Лінійне підпростір - це

визначення

Лінійне. або векторноепространство над полем P - це непорожня безліч L. на якому введено операції

складання, тобто кожній парі елементів безлічі ставиться у відповідність елемент того ж безлічі, що позначається і
множення на скаляр (тобто елемент поля P), тобто будь-якого елементу і будь-якого елементу ставиться у відповідності елемент з, що позначається.

При цьому задовольняються наступні умови:

, для будь-яких (коммутативность складання);
, для будь-яких (асоціативність додавання);
існує такий елемент, що для будь-якого (існування нейтрального елемента щодо складання), зокрема L не порожньо;
для будь-якого існує такий елемент, що (існування протилежного елементу).
(Асоціативність множення на скаляр);
(Існування нейтрального елемента відносно множення).
(Дистрибутивность множення на скаляр щодо складання);
(Дистрибутивность складання відносно множення на скаляр).

найпростіші властивості

Нейтральний елемент є єдиним.
для будь-кого.
Для будь-якого протилежний елемент є єдиним.
для будь-кого.
для будь-яких і.

Пов'язані визначення і властивості

Лінійне підпростір або векторне підпростір - непорожня підмножина P лінійного простору L таке, що P саме є лінійним простором по відношенню до певних в L дій додавання і множення на скаляр.
Кінцева сума виду

називається лінійною комбінацією елементів з коефіцієнтами.

Лінійна комбінація називається нетривіальною. якщо хоча б один з її коефіцієнтів відмінний від нуля.
Елементи називаються лінійно залежними. якщо існує нетривіальна лінійна комбінація (1), що дорівнює елементу. В іншому випадку ці елементи називаються лінійно незалежними.
Нескінченна підмножина векторів з L називається лінійно залежною, якщо лінійно залежно його деякий кінцеве підмножина, і лінійно незалежним, якщо будь-який його кінцеве підмножина лінійно незалежно.
Число елементів (потужність) максимального лінійно незалежної підмножини простору не залежить від вибору цього підмножини і називається рангом. або розмірністю. простору, а саме це підмножина - базисом.
Будь-які n лінійно незалежних елементів n мірного простору утворюють базис цього простору.
Будь-вектор можна представити (єдиним чином) у вигляді кінцевої лінійної комбінації базисних елементів:

Нульове простір, єдиним елементом якого є нуль.
Простір всіх функцій утворює векторний простір розмірності рівній потужності X.
поле дійсних чисел може бути розглянуто як континуально -мірним векторний простір над полем раціональних чисел.

додаткові структури

Дивитися що таке "Лінійне підпростір" в інших словниках:

ЛІНІЙНЕ підпростір - векторне підпросторів про, непорожнє підмножина L (лінійного) векторного простору Е над полем Ктакое, що L саме є векторним простором по відношенню до певних в Едействіям додавання і множення на скаляр. Безліч L + x0, де ... ... Математична енциклопедія

ЛІНІЙНЕ РІВНЯННЯ - рівняння виду де А лінійний оператор, який діє на підставі векторного простору Xв векторний простір У, х невідомий елемент з X, b заданий елемент з В (вільний член). Якщо 6 = 0, то Л. у. наз. однорідним. Рішенням Л. у. наз. елемент ... ... Математична енциклопедія

Лінійне рівняння - рівняння, в яке невідомі входять в 1 го ступеня (т. Е. Лінійно) і відсутні члени, що містять твори невідомих. Кілька Л. у. щодо одних і тих же невідомих утворюють систему Л. у. Рішенням системи Л. у. називають ... Велика радянська енциклопедія

Лінійне відображення - Цей термін має також інші значення, див. Огляд (значення). Лінійне відображення, лінійний оператор узагальнення лінійної числової функції (точніше, функції) на випадок більш загального безлічі аргументів і значень. Лінійні ... ... Вікіпедія

ЛІНІЙНЕ РІВНЯННЯ - алгебраїчне рівняння алгебри 1 го ступеня за сукупністю невідомих, т. Е. Рівняння виду Будь-яка система Л. у. може бути записана у вигляді де ти n натуральні числа; а ij (i = 1, 2. т, j = 1, 2. n) наз. коефіцієнтами при ... ... Математична енциклопедія

Лінійне нормоване простір - В евклідовому просторі поняття «довжина вектора» розуміється інтуїтивно як відстань між його початком і кінцем. Найбільш важливими властивостями «довжини вектора» є наступні: Довжина нуль вектора. дорівнює нулю; довжина будь-якого іншого вектора ... ... Вікіпедія

Лінійне перетворення - Лінійним відображенням (лінійним оператором) векторного простору LK над полем K в векторний простір MK (над тим же полем K) називається відображення. задовольняє умові лінійності f (αx + βy) = αf (x) + βf (y). для всіх і ... Вікіпедія

ЛІНІЙНЕ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ В банахових просторах - рівняння виду де A0 (t), A1 (t) .при кожному t лінійні оператори в банаховому просторі Е, g (t) задана, au (t) шукана функції зі значеннями в Е; похідна іпонімается як межа по нормі Еразностного відносини. 1. Лінійне диференціальне ... ... Математична енциклопедія

ЛІНІЙНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ - відображення векторного простору в себе, при к ром чином суми двох векторів є сума їх образів, а образом твору вектора на число твір образу вектора на це число. Якщо V векторний простір, f заданий в ньому Л. п. І ... Математична енциклопедія