Лекція № 2 обертальний рух кінематика обертального руху

Найпростішою формою руху матерії є механічний рух. Воно являє собою зміну положення тіла або його окремих частин в просторі, тобто відносно один одного. Основне завдання механіки полягає у відповіді на питання: де буде знаходитися тіло в цікавий для нас момент часу.

Будь-який рух в механіці може бути представлена ​​як комбінація двох основних видів руху: поступального і обертального.

Розглянемо найбільш простий випадок обертального руху: обертання абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі.

Тіло називається абсолютно твердим, якщо відстань між його будь-якими двома точками незмінно. Зрозуміло, що це поняття є фізичною абстракцією. Реально цій умові задовольняють тіла, деформаціями яких при вирішенні тих чи інших завдань можна знехтувати.

При обертанні різні точки твердого тіла рухаються по колах, центри яких утворюють пряму. Ця пряма і називається віссю обертання. Легко помітити, що кутові переміщення всіх точок за один і той же проміжок часу t будуть при цьому однаковими. З цієї причини положення тіла, що обертається доцільно визначати кутом, на який воно повертається щодо свого початкового положення. Рівнянням обертального руху в цьому випадку буде функція  = f (t), яка буде мати один і той же вид для всіх точок тіла. Отримаємо вираз цієї функції в загальному вигляді. Для цього достатньо розглянути рух однієї з точок тіла навколо осі.

Нехай тверде тіло обертається навколо осі . Траєкторія руху точки М буде являти собою коло, площина якої перпендикулярна, а центр 0 лежить на цій прямій. Положення довільної точки М на траекто-рії будемо визначати углом, який утворює радіус-вектор , проведений з центру кола до точки М, з променем 0х. лежачим в площині траєкторії і обраним за початок відліку.

В СІ вимір кута  проводиться в радіанах. Кут в 1 радіан - це центральний кут, який спирається на дугу довжиною рівній радіусу кола r. Тобто щоб визначити кут в радіанах треба довжину дуги розділити на її радіус кривизни:

Розглянемо основні кінематичні параметри обертального руху. Нехай за нескінченно малий проміжок часу dt матеріальна точка з положення М переміститься в положення

, пройшовши путьds. При цьому радіус-вектор повернеться на нескінченно малий уголd.

Кутова скорость- це вектор чисельно дорівнює куту повороту радіус-вектора

за одиницю часу і спрямований так, що з його вістря рух точки відбувається проти годинникової стрілки. початок знаходиться в точці О.

Час, за який тіло робить один повний оберт, називається періодом обертання (Т). Оскільки кут повороту, що відповідає одному повного обороту  = 2 радий, то при рівномірному русі

Величину рівну числу оборотів тіла за одиницю часу називають частотою обертання n:

Рівняння рівномірного обертального руху (ω = const) отримаємо, вирішивши диференціальне рівняння (2):

При нерівномірному обертанні швидкість зміни кутової швидкості характеризується кутовим прискоренням :

-це вектор, розташований на осі обертання і спрямований, так як і , якщо швидкість зростає, і в протилежному напрямку, якщо швидкість зменшується.

У загальному випадку, рівняння равноускоренно обертального руху (β = const) можна отримати, вирішивши диференціальне урав-

ня (6) щодо :

Для опису руху по круговій траєкторії можна використовувати і вже знайомі нам лінійні кінематичні параметри. Наприклад, швидкість руху точки по траєкторії:

Ця швидкість при переході з однієї точки траєкторії (М) в іншу (

) Буде змінюватися в загальному випадку як за величиною, так і за напрямом (рис.2):

розкладемо вектор

на дві складові:- спрямовану вздовжі- проведену так, що. З креслення видно, чтоdτ -равна збільшенню модуля швидкості, авизначає зміна напрямку вектора швидкостіпри переході точки тіла з положення М в.

Розділивши (11) на dt, отримаємо:

Так як

- це повне лінійне прискорення, то (12) перепишеться

, (13) де- тангенціальне прискорення, яке характеризує швидкість зміни швидкості за величиною (по модулю); dn / dt = an - нормальне прискорення, яке визначає "швидкість" зміни напрямку швидкості.

Встановимо взаємозв'язок лінійних і кутових параметрів руху по колу. Зі співвідношення (1)

Продифференцировав праву і ліву частину по t, маємо:

Ця формула визначає взаємозв'язок модуля лінійної швидкості і модуля кутовий скорості. Диференціюючи (15) ще раз поt, отримаємо для тангенціального прискорення:

з трикутника

при радіанної міру малих кутів:

dn =  · sind =  · d. але

, тоді.

Диференціюючи за tправую і ліву частину останнього рівності, отримаємо:

З огляду на (15), з (17) отримаємо:

З АВС (dυ) 2 = (dυτ) 2 + (dυn) 2 або після поділу на (dt) 2 -

. З урахуванням (16) і (18)