Лекція №2 «головні осі і головні моменти інерції - студопедія

Розглянемо, як змінюються моменти інерції при повороті координатних осей. Покладемо, дані моменти інерції деякого перетину щодо осей 0х. 0у (не обов'язково центральних) -. - осьові моменти інерції перерізу. Потрібно визначити. - осьові моменти щодо осей u. v. повернених щодо першої системи на кут (рис. 8)

Так як проекція ламаної лінії ОАВС дорівнює проекції замикаючої, знаходимо:

Виключимо u і v в виразах моментів інерції:

Розглянемо два перших рівняння. Складаючи їх почленно, отримаємо

Таким чином, сума осьових моментів інерції щодо двох взаємно перпендикулярних осей не залежить від кута і при повороті осей залишається постійною. Зауважимо при цьому, що

Де - відстань від початку координат до елементарної площадки (див. Рис.5). Таким чином

Де - вже знайомий нам полярний момент інерції:

Визначимо осьової момент інерції кола щодо діаметра.

Так як в силу симетрії але, як відомо,

Отже, для кола

Зі зміною кута повороту осей значення моментів і змінюються, але сума залишається незмінною. Отже існує таке значення. при якому один з моментів інерції досягає свого максимального значення, в той час як інший момент приймає мінімальне значення. Диференціюючи вираз по куту і прирівнюючи похідну до нуля, знаходимо

При цьому значенні кута один з осьових моментів буде найбільшим, а інший - найменшим. Одночасно відцентровий момент інерції звертається в нуль, що можна легко перевірити, прирівнюючи до нуля формулу для відцентрового моменту інерції.

Осі, відносно яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, а осьові моменти приймають екстремальні значення, називаються головними осями. Якщо вони до того ж є центральними (точка початку координат збігається з центром ваги перерізу), то тоді вони називаються головними центральними осями (u; v). Осьові моменти інерції щодо головних осей називаються головними моментами інерції - і

І їх значення визначається за такою формулою:

Знак плюс відповідає максимальному моменту інерції, знак мінус - мінімального.

Існує ще одна геометрична характеристика - радіус інерціісеченія. Ця величина часто використовується в теоретичних висновках і практичних розрахунках.

Радіусом інерції перетину щодо деякої осі, наприклад 0x, називається величина, яка визначається з рівності

F - площа поперечного перерізу,

- осьової момент інерції перерізу,

З визначення випливає, що радіус інерції дорівнює відстані від осі 0х до тієї точки, в якій слід зосередити (умовно) площа перерізу F, щоб момент інерції однієї цієї точки дорівнював моменту інерції всього перетину. Знаючи момент інерції перерізу і його площа, можна знайти радіус інерції щодо осі 0х:

Радіуси інерції, відповідні головним осях, називаються головними радіусами інерції і визначаються за формулами