Кутова швидкість і кутове прискорення тіла як векторні величини

Доказ деяких теорем кінематики і динаміки, якщо розглядати кутову швидкість і кутове прискорення як векторні величини, можна спростити. Вектор (рис. 49), який зображає кутову швидкість, будують на осі обертання, направляючи його вздовж осі в ту сторону, щоб, дивлячись з його кінця, бачити обертання відбувається проти годинникової стрілки. Початок його можна помістити в будь-якій точці осі, - вектор ковзний. модуль | | = | Dφ / dt | = | | дорівнює абсолютній величині кутової швидкості.

Е

кщо взяти орт осі z -

Кутова швидкість і кутове прискорення тіла як векторні величини

, то ω = φ

= (D

/ Dt)

або

, тобто вектор кутового прискорення

спрямований, як і

, по осі z і дорівнює по модулю |

|. крапку програми

можна помістити в будь-яку точку осі обертання,

- ковзний вектор.

Вектор може збігатися у напрямку с, може не збігатися. Якщо обертання прискорене, то обидва вектори направлені в одну сторону (рис. 50), якщо уповільнене - в різні (рис. 51).

Користуючись векторними поняттями кутової швидкості і кутового прискорення, висловимо лінійну швидкість і лінійне прискорення у вигляді векторних творів.

Вираз лінійної швидкості і прискорення у вигляді векторних

Нехай ми маємо тіло, що обертається близько нерухомої осі. Зобразимо його кутову швидкість і кутове прискорення у вигляді векторів і. Початок їх помістимо в точку О осі обертання. Візьмемо в тілі будь-яку точки М. Проведемо з точки Про радіус-вектор точки М. Кут між віссю z і позначимо через α. Покажемо, що вектор лінійної швидкості точки М.

У цьому неважко переконатися, згадавши визначення векторного добутку двох векторів. Векторний добуток двох векторів є новий вектор, перпендикулярний площині, в якій лежать два даних вектора, і дорівнює по модулю добутку їх модулів на синус кута між ними. Вектор (рис. 52) перпендикулярний площині ΔOMO1 і дорівнює ωr sin α = ωR (R = r sin α з ΔOMO1).

Вектор лінійної швидкості v = ω R. і спрямований перпендикулярно R. тобто площині ΔOMO1 в ту сторону, щоб поворот і відбувався проти годинникової стрілки. Отже, вектори і рівні, що й треба було довести.

- основна формула кінематики або формула Ейлера.

Ектор лінійного прискорення отримаємо як похідну від вектора швидкості за часом:

Вектор ā дорівнює сумі двох векторів. Покажемо, що  - є āτ.  - ān - вектори дотичного і нормального прискорень. Вектор  дорівнює по модулю εr sin α = εR і спрямований перпендикулярно площині, в якій лежать і, тобто площині ΔOMO1. отже,  є вектор, перпендикулярний радіусу обертання і дорівнює добутку кутового прискорення на радіус обертання, тобто цей вектор дорівнює āτ.

Вектор  по модулю дорівнює ωv sin β, нo β = 90 і ωv sin β = ωv = ω 2 R. так як v = ω R.

Спрямований він перпендикулярно площині, в якій лежать і, тобто по радіусу до центру (рис. 53).

Приклад. На шків радіусом R = 0,5 м навернений торс, до вільного кінця якого підвішений вантаж А (рис. 54). Вантаж опускається зі стану спокою равноускоренно з прискоренням aA = 2 м / с 2 і приводить в обертання шків. Знайти закон обертального руху шківа, кутову швидкість, кутове прискорення його в довільний момент часу t. а також швидкість і прискорення āM точки М, що лежить на ободі шківа. Вантаж рухається рівноприскореному, значить, можна знайти його швидкість vA = aAt = 2t м / с. Швидкість вантажу дорівнює швидкості точок обода, тобто vM = vA = 2t. тоді ω = vM / R = 4t c -1. кутове прискорення ε = dω / dt = 4 c -1. тобто ε = const і обертання шківа равноускоренное. ω0 = 0 і тому закон обертання:

Рядова левередж

Обертальний рух широко поширене в різних машинах і механізмах. Обертання може передаватися на відстань за допомогою гнучких зв'язків (ремінні передачі) або безпосереднім зіткненням (фрикційні або зубчасті передачі). У ремінних і фрикційних передачах використовуються сили тертя, а в зубчастих - механічне зачеплення. У кожному з цих видів передач є провідна ланка, яке повідомляє рух, і ведені ланки, які отримують рух від ведучого ланки. Розглянемо рядову зубчасту передачу або рядове з'єднання зубчастих коліс.

З'єднання зубчастих коліс, у яких все вали обертаються в нерухомих підшипниках, називається рядовим з'єднанням або рядовий зубчастої передачею (рис. 55).

Відстань між двома сусідніми зубами називають кроком зубчастої передачі h.

;

де R1. z1 - радіус і число зубів I колеса; R2. z2 - радіус і число зубів II колеса.

Рядова передача характеризується передаточним числом. Передавальне число i1,2 зубчастої передачі дорівнює відношенню кутової швидкості ведучого колеса ω1 до кутової швидкості веденого ω2. i1,2 = ω1 / ω2.

Якщо в зачепленні знаходиться n коліс, то передавальне число такої передачі дорівнює добутку передавальних чисел зчеплених пар:

де m - число зовнішніх зачеплень.

При внутрішньому зачепленні (рис. 56) передавальне число позитивно, при зовнішньому - негативно.

Зубчастий редуктор складається з трьох зубчастих коліс (рис. 57). Перше колесо має діаметр 0,2 м і робить 7 200 об / хв. Друге колесо - 4 000 об / хв, а третє - 600 об / хв. Визначити діаметри другого і третього колеса.

Немає вірної відповіді.

Колесо радіусом 0,8 м, що обертається в період розгону равноускоренно зі стану спокою, вчинила за деякий час 750 оборотів. Визначити час розгону, якщо швидкості точок на ободі досягли при цьому 200 м / с.

Колесо радіусом 0,5 м, обертаючись равноускоренно, має через 10 з кутову швидкість n = 120 об / хв (n0 = 0). Визначити прискорення точки А обода колеса в момент t = 1 хв.

Рукоятка ОА (рис. 58) обертається за законом φ = 5t. Визначити, за який час вантаж піднімається на висоту 5 м, якщо r1 = 0,2 м; r2 = 0,3 м; r3 = 0,15 м.

Обертання тіла навколо нерухомої осі задано рівнянням φ = 1,5t 2 - 4t. Визначити швидкість і прискорення точки тіла, віддаленої від осі обертання на 0,2 м в момент t1 = 2 с.

студентом безвідривної форми навчання складається з наступних основних етапів: самостоятельноеізученіе фізики по учебнимпособіям. руху твердоготела відносно нерухомої осі. Якщо I = const, то М = I, де  - кутове прискорення тіла. 26.

Підручники та навчальні посібники

- навчальний посібник. має особливий дидактичний апарат, що сприяє самостійній роботі студента над освоєнням навчального предмета; самовчитель - учебноепособіедлясамостоятельногоізученія.

Державний освітній стандарт

вивчення. твердоготела 1.2 Тема 2. ДИНАМІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ Динаміка матеріальної точки і поступального руху твердоготела. ТВЕРДОГОТЕЛАКінематіка. Шахін Е.Л. Фізика: Учебноепособіедлясамостоятельной роботи студентів / 3-е изд.