Кут між биссектрисами суміжних кутів

У даній статті репетитор з математики і фізики відповідає на питання, чому дорівнює кут між биссектрисами суміжних кутів. Як виявилося, це питання хвилює багатьох школярів, яким треба буде здавати ЄДІ або ОГЕ з математики. Цікаво те, що цей матеріал вивчається в 7 класі, коли школярі тільки починають своє знайомство з премудростями геометрії. Дочитайте цю статтю до кінця, і ви не тільки дізнаєтеся чому дорівнює кут між биссектрисами суміжних кутів, але і зрозумієте, як це можна дуже легко довести.

Чому дорівнює кут між биссектрисами суміжних кутів

Почати потрібно, звичайно, з визначення суміжних кутів. Суміжними називаються кути, які як би доповнюють один одного до розгорнутого. Найпростіше продемонструвати це за допомогою малюнка. Якщо намалювати пряму AB. відзначити на ній між точками A і B точку C і провести з неї промінь CD. то кути ACD і DCB будуть суміжними. На малюнку вони відзначені однією і двома дугами:

Ну і зрозуміло, що оскільки суміжні кути доповнюють один одного до розгорнутого кута, то в сумі вони рівні.

Проведемо тепер бісектриси цих суміжних кутів. Нагадаю, що биссектрисой називається «щур, яка бігає по кутах і ділить кут навпіл». Це така запоміналочка для семикласників, щоб краще запам'ятати. А якщо більш строго, так би мовити, по-науковому, то бісектриса - це промінь, що виходить з вершини кута і ділить його навпіл. Ну і якщо намалювати бісектриси обох кутів (на малюнку знизу це зелені лінії CE і CF), то навіть візуально помітно, що кут між ними складе:

Хтось може мені заперечити, сказавши, що це випадково так вийшло і що можна перемалювати малюнок так, що бісектриси вже не будуть взаємно перпендикулярні. Але немає! В тому то і справа, що можна взяти будь-які суміжні кути і кут між биссектрисами цих суміжних кутів обов'язково буде прямим. Це дивовижний факт, чи не так ?!

Але насправді, якщо ви вже були з ним раніше знайомі, то не на стільки вже дивовижний. Тому що насправді доказ у цього факту досить-таки просте. Позначимо рівні кути FCB і DCF за, а рівні кути DCE і ECA за:

Якщо подивитися на малюнок, то всі ці кути разом утворюють розгорнутий кут, тобто в сумі всі вони рівні. Тобто має місце рівність:

Якщо розділити обидві частини цієї рівності на 2, то вийде:

Тобто два куточка в центрі дають в сумі незалежно від величини кожного з цих кутів. Тобто кут ECF - прямий. Що й потрібно було довести.

Ось такий чудовий факт з елементарної геометрії. І таких фактів дуже багато. На своїх заняттях я розповідаю про них своїм учням. Крім того, що це просто цікаво, це ще й дуже стане в нагоді в майбутньому при здачі різних іспитів з математики, в першу чергу ОГЕ і ЄДІ.

Матеріал підготував репетитор з математики. Сергій Валерійович