Криволінійні інтеграли першого і другого роду

Криволінійний інтеграл 1 роду

Нехай на декартовій площині задана деяка безперервна крива, в кожній точці якої визначена функція двох незалежних змінних і. Розіб'ємо задану дугу на частин точками,. На кожній з елементарних дуг виберемо довільну точку і обчислимо в ній значення функції:. Складемо суму творів значень на довжину елементарної дуги:. Знайдемо межа цієї суми за умови, що довжина найбільшої з дуг прагне до нуля, а їх кількість. Якщо функція неперервна в усіх точках дуги, то ця межа існує і не залежить ні від способу розбиття дуги на частини, ні від вибору точок на кожній з них:

Межа називається криволінійним інтегралом першого роду і позначається

Криволінійний інтеграл першого роду не залежить від напрямку обходу кривої, тобто

Якщо крива задана явним рівнянням

Якщо крива задана явним рівнянням, то

Криволінійний інтеграл 2 роду

Нехай в кожній точці деякої дуги плоскої кривої визначена функція двох незалежних змінних. Точками розіб'ємо зазначену дугу на приватних дуг, на кожній з яких виберемо довільну точку. Значення функції в обраних точках - - помножимо на величину, яка є проекцією приватної дуги на вісь абсцис:. Якщо функція неперервна в усіх точках дуги, то існує межа суми всіх побудованих творів при:. Ця межа не залежить ні від способу розбиття дуги на приватні дуги, ні від вибору точок на них.

Межа називається криволінійним інтегралом другого роду від функції по дузі і позначається

Якщо значення функції в точці - - помножити на, тобто на проекцію елементарної дуги на вісь ординат, то отримаємо твір.

Межа суми таких творів за умови, що всі прагнуть до нуля, називається криволінійним інтегралом 2 роду:

У разі, коли на дузі задані дві безперервні функції і, то можна розглядати криволінійні інтеграли і.

Суму зазначених інтегралів будемо називати криволінійним інтегралом другого роду за умови, що обидва інтеграла і обчислюються по одному і тому ж напрямку.

Властивості криволінійного інтеграла 2 роду

1. При зміні напрямку інтегрування криволінійний інтеграл другого роду змінює знак:

2. Якщо точка - внутрішня точка на дузі, то криволінійний інтеграл другого роду можна представити у вигляді такої суми:

Обчислення криволінійного інтеграла другого роду зводиться до обчислення певного інтеграла.

Якщо крива задана явним рівнянням

Якщо крива задана явним рівнянням,, то криволінійний інтеграл другого роду