Критерії коллинеарности двох векторів - студопедія

Перший критерій коллинеарности двох векторів

Для того щоб два ненульових вектора були колінеарні, необхідно і достатньо, щоб ці вектори були лінійно залежні.

Доведення. (Необхідність) За умовою вектори і колінеарні. При цьому можливі два випадки:

1.. Тоді, по теоремі про однаково спрямованих векторах,. тобто . де.

2.. В цьому випадку, використовуючи теорему про протилежно спрямованих векторах, маємо. тобто . Тут.

Отже, якщо вектори і колінеарні, то існує таке число. що. а це рівність, згідно з критерієм лінійної залежності векторів, означає, що вектори і лінійно залежні. Звідси, зокрема, випливає, що будь-які два вектори, розташовані на одній прямій, лінійно залежні.

(Достатність.) Нехай вектори і лінійно залежні. Тоді. де - деяке число. Згідно з визначенням добутку вектора на скаляр, напрямок вектора в залежності від знака скаляра або збігається з напрямком вектора або протилежно напрямку вектора. тобто вектор. рівний. коллінеарен вектору.

Другий критерій коллинеарности двох векторів

Для того, щоб два ненульових вектора були колінеарні, необхідно і достатньо, щоб однойменні проекції цих векторів на координатні осі були пропорційні:.

Пропорції формально втрачають силу, коли хоча б один з знаменників звертається в нуль. Більш загальною є наступна форма запису факту пропорційності однойменних проекцій розглянутих векторів на координатні осі:

Однак часто використовують пропорції.

При цьому передбачається, що якщо який-небудь з знаменників дорівнює нулю, то і відповідний чисельник теж дорівнює нулю.

Доведення. (Необхідність) Якщо вектори і колінеарні, то згідно з першим критерієм коллинеарности двох векторів, вектори і лінійно залежні, а тому. З цієї рівності випливає, що. тобто .

Покладемо кожне з цих відносин рівним. Тоді.

Якщо ж поряд з цими рівностями скористатися теоремою про розкладання вектора по координатним ортам. то отримаємо. або, відповідно до властивостями операції множення вектора на скаляр,. тобто .

Отже, вектори і лінійно залежні, і тому, згідно з першим критерієм коллинеарности двох векторів, вектори і колінеарні, що й треба було довести.