Комплексні числа

У розділі "Рішення квадратних рівнянь з речовими коефіцієнтами" ми бачили, що в поле комплексних чисел будь-квадратний тричлен з речовими коефіцієнтами має коріння, цих коренів два, якщо дискримінант відмінний від нуля, і один в іншому випадку. Тепер, коли ми маємо можливість отримувати коріння з комплексних чисел, ми можемо знайти корені квадратного тричлена з комплексними коефіцієнтами, тобто вирішити рівняння

де. . -- комплексні числа, .

Позначивши. . отримаємо рівняння. де. Таке рівняння ми вміємо вирішувати. У результаті вийдуть два кореня, якщо. і один, якщо. Так як тоді і тільки тоді, коли дискримінант дорівнює нулю, то кількість коренів визначається тим же умовою: дорівнює дискриминант нулю чи ні. Крім того, зауважимо, що якщо. то і. Тому коріння рівняння можна записати у вигляді

де означає одне з рішень (будь-яке!) рівняння. Відзначимо, що формули (17.5) також можна записати в вигляді (17.16), так як при матеріальному виконано.

Приклад 17. 10 Розв'яжіть рівняння.

Рішення. Знаходимо дискримінант:

Вирішимо рівняння. Для цього знаходимо. Нехай. Тоді. Досить знайти тільки одне рішення. Друге отримаємо множенням його на. За формулою (17.15)

За формулами половинного аргументу з урахуванням того, що. отримаємо

Виявляється, що в поле комплексних чисел коріння завжди існують не тільки у квадратного тричлена, а й у будь-якого многочлена.

Теорема 17. 1Любой многочлен ненульовий ступеня з коефіцієнтами з поля комплексних чисел має в цьому полі хоча б один корінь.

Дана теорема за традицією називається основною теоремою алгебри. Доказ її досить складне і тому тут воно не наводиться.

Цікаво з'ясувати, скільки коренів має многочлен ступеня. Ми вже знаємо, що якщо. то корінь один, якщо. то, як вчили в школі, коренів два. Крім того, ми вже з'ясували, що многочлен має рівно різних коренів, якщо.

Теорема 17. 2Для будь-якого многочлена ненульовий ступеня в поле комплексних чисел справедливо розкладання на множники:

Доказ пропускаємо. Новомосковсктель може знайти його в [5].

Очевидно, що в зазначеному розкладанні числа. . є корінням багаточлена і інших коренів у нього бути не може. Однак серед чисел можуть бути й однакові. Тому коренів може бути менше, ніж. Число однакових дужок в розкладанні (17.17) називається кратністю відповідного кореня. Наприклад, якщо

то - корінь кратності 2, і - корені кратності 1 або, інакше, прості коріння.

З попередньої теореми легко отримати теорему, що дає відповідь на питання про кількість коренів многочлена.

Теорема 17. 3В поле комплексних чисел будь-який багаточлен ненульовий ступеня має рівно коренів, якщо кожен корінь вважати стільки раз, яка його кратність.

З питання практичного знаходження коренів варто відзначити наступне. Для знаходження коренів многочленів третього і четвертого ступенів існують формули, що дозволяють виразити корені многочлена через його коефіцієнти. Для многочлена третього ступеня - це формула Кардано. Знаходження коренів многочлена четвертого ступеня зводиться до знаходження коренів многочлена третього ступеня методом, що належить Феррарі. Для многочленів вище четвертого ступеня доведено, що їх коріння не можна виразити через їх коефіцієнти за допомогою радикалів.

Однак, навіть для многочленів третього і четвертого ступеня, як правило, коріння знаходять без використання зазначених вище формул, так як ті дають дуже громіздкі вирази. Зазвичай коріння знаходять наближено, за допомогою різних обчислювальних алгоритмів (див. Розділ 9).