Класичне визначення ймовірності

Існують різні підходи до визначення ймовірності події.

Одним з таких визначень є так зване класичне визначення ймовірності. Воно виникло на початковому етапі розвитку теорії ймовірностей.

При цьому визначенні ймовірністю події називається ставлення-ня числа елементарних фіналів, що сприяють даному подію-тію, до числа всіх рівно можливих елементарних фіналів досвіду.

Імовірність події А позначають через Р (А). Якщо через m обо-значити число елементарних фіналів, що сприяють події А, а через n - число всіх рівно можливих елементарних фіналів досвіду, що утворюють повну групу подій, то

Встановимо деякі властивості ймовірності події.

Властивість 1. Імовірність події А є невід'ємне число, укладену між нулем і одиницею: 0 <Р (А) <1.

Це властивість безпосередньо випливає з рівності (19) по-кільки 0

Властивість 2. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці: P (U) = 1.

Це властивість випливає з того, що достовірна подія настає при кожному випробуванні (m = n).

Властивість 3. Імовірність неможливого події дорівнює нулю: P (V) = 0.

Справді, неможлива подія ні при якому випробуванні на-ступає (m = 0).

Властивість 4. (адитивність). Якщо А і В - несумісні події, то ймовірність їх суми дорівнює сумі ймовірностей: Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Приклад. Нехай є 80 деталей, серед яких 60 справних, а 20 бракованих. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь ока-жется справною.

Рішення. Очевидно, що з числа всіх деталей, т. Е. З числа 80, нам сприяють 60 і не сприяють 20. Якщо, через А позначимо подія, що взята деталь справна, то згідно класичне-ському визначенням ймовірність цієї події дорівнює відношенню числа сприятливих елементарних результатів до числа всіх равновоз-мужніх. Тому

вправи

Серед 170 деталей, виготовлених на верстаті, виявилося 8 деталей, що не відповідають стандарту. Знайдіть ймовірність вибору деталі, що не відповідає стандарту.

Контролер, перевіряючи якість 500 виробів, встановив, що 10 з них відноситься до другого сорту, а решта - до першого. Найді- ті ймовірність вибору вироби першого сорту, вибору вироби другого сорту.

На десяти картках написані цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Дві з них виймаються навмання і укладаються в порядку появи, потім Новомосковскется отримане число. Знайдіть ймовірність того, що число буде непарних.

На шести картках написані букви в, д, з, о, у, х. Після перетягнути-совки виймають навмання одну картку за одною і розкладають їх у тому порядку, в якому вони були вийняті. Знайдіть ймовірність того, що на картках буде написано слово «повітря».

В ящику знаходяться 6 червоних і 9 білих куль. З ящика извле-чени три кулі. Знайдіть ймовірність того, що два з них виявляться червоними.

6. Частота події. Статистичне визначення ймовірності

Класичне визначення ймовірності передбачає, що всі еле-плементарним результати рівноможливими. Про рівно можливих випадків опи-ту зазвичай укладають в силу міркувань симетрії (наприклад, як у випадку ідеальної гральної кістки або монети). Такі завдання на прак-тику зустрічаються досить рідко. У багатьох випадках важко вказати підстави для можливості вважати, що все елементарні результати рівноможливими. У зв'язку з цим виникла необхідність введення ще одного визначення ймовірності, яке отримало назву стати-стіческого. Це визначення грунтується на такому понятті, як відноси-кові частота події.

Визначення. Відносної частотою події або частотою називається відношення числа дослідів, в яких з'явилося це подію-тя, до числа всіх вироблених дослідів.

Позначимо частоту події А через W (A), тоді за визначенням

де М - число дослідів, в яких настав подія А, а N - число всіх вироблених дослідів.

Частота події має такі властивості:

Частота випадкової події є число, укладену між нулем і одиницею: 0

Частота достовірної події U дорівнює одиниці: W (U) = 1.

Частота неможливого події V дорівнює нулю: W (V) = 0

Частота суми двох несумісних подій А і В дорівнює сумі частот цих подій: W (A + B) = W (A) + W (B)

Ймовірністю Р (А) події А при статистичному її визначенні називається частота W (A) даної події в серії, що складається з біль-шого числа випробувань.

Приклад. З 600 навмання взятих деталей 12 виявилися бракованих-ми. Знайти частоту появи бракованих деталей.

Рішення. Так як в даному прикладі М = 12, а N = 600, то по визна-поділу частоти маємо

Зауваження. Крім наведених класичного і статистичного визначень ймовірності існує і так зване геометричне визначення ймовірності. Справа в тому, що як класичне-ське, так і статистичне визначення припускають, що число еле-плементарним результатів звичайно. Щоб подолати цей недолік, вво-диться геометричне визначення ймовірності, яке полягає в тому, що за ймовірність приймається площа деякої області пло-кістки, а за елементарний результат - точка цієї області за умови, що площа всієї області елементарних фіналів дорівнює 1.