Кільце, властивості кільця, приклади кілець

Визначення 1. Непорожнє безліч R називається кільцем, якщо в ньому визначені дві алгебраїчні операції: додавання, що ставить у відповідність кожним двом елементам a. b елемент a + b. званий їх сумою, і множення, що ставить у відповідність кожним двом елементам a. b елемент ab. званий їх твором, причому ці операції мають наступні властивості:

I. (Комутативність складання) a + b = b + a;

III. (Обратимость складання) Для будь-яких a і b з R рівняння a + x = b має (принаймні одне) рішення, т. Е. Існує елемент такий, що a + c = b;

IV. (Комутативність множення) ab = ba;

Термін "кільце" застосовується також до множинам з некомутативними або навіть неассоціатівное множенням. Формулювання інших властивостей також змінюються.

V. (Асоціативність множення) a (bc) = (ab) c;

VI. (Дистрибутивність множення щодо складання) (a + b) c = ac + bc.

Приклади кілець. При звичайних операціях додавання і множення кільцем є:

1. Безліч цілих чисел.

2. Безліч раціональних чисел.

3. Безліч дійсних чисел.

4. Безліч раціональних чисел.