Кіл Ейлера-Венна

А + Н = 8 осіб.

А = 34 - 8 - 6 - 5 = 15 осіб.

Ф = 25 - 5 - 6 -8 = 6 осіб.

Відповідь: всього 40 чоловік.

Приклад завдання з життя, яку я знайшов в літературі. Дане завдання показує, що за допомогою кіл Ейлера-Венна можна вирішувати не тільки завдання з математики.

Завдання 2. Міністерство надіслало в один з ліцеїв інспектора для перевірки, як в ньому ведеться викладання іноземних мов. Співробітник міністерства в звіті записав, що в ліцеї навчаються 100 дітей. Кожен вивчає принаймні один з трьох мов: французьку, німецьку або іспанську. Причому всі три мови вивчають 5 осіб; німецьку та іспанську 10; французька та іспанська 8; німецький і французький 20; іспанська 30, німецький 23, французький 50. Інспектор, який представив звіт, був звільнений. Чому?

Рішення: Почнемо, як завжди, з позначень. Назвемо Ф безліч учнів, що вивчають французьку мову, Н - безліч учнів, що вивчають німецьку мову, І - тих, хто вивчає іспанську. У звіті сказано, що кожен з 100 ліцеїстів вивчає хоча б один з трьох мов.

Перевіримо, чи відповідає це твердження іншим даними звіту. Їх можна записати так: Ф = 50, Н = 23, І = 30, Ф ∩ Н = 20, Ф ∩ І = 8, Н ∩ І = 10, Ф ∩ Н ∩ І = 5. Оскільки безліч всіх ліцеїстів є об'єднання множин Ф, Н і і, потужність якого дорівнює 100, то 100 = Ф + Н + і - (Ф ∩ Н + Ф ∩ і) + Н ∩ і + Ф ∩ Н ∩ І. Підставами відповідні значення і отримаємо 50 + 23 + 30 - 20 - 8 - 10 + 5 = 70. Протиріччя: 100 ≠ 70. Спробуємо зі звіту інспектора зрозуміти, скільки учнів вивчають тільки німецьку мову. Як випливає з рис.5, потужність даної множини дорівнює Н - Н ∩ Ф - Н ∩ І + Н ∩ І ∩ Ф. Підставивши відповідні значення в останню формулу, отримаємо 23 - 20 - 10 + 5 = - 2. Знову абсурд! Висновок очевидний - перевірка була проведена погано або зовсім не проводилася. Не виключено, що інспектор взяв довільні числа.

В результаті роботи над даною темою я прийшов до наступних висновків:

1) Усі безлічі чисел пов'язані між собою так, що кожне наступне, більш об'ємне, включає в себе попереднє безліч частково або повністю;

2) Будь-яке натуральне число є елементом будь-якого наступного безлічі;

3) Застосування кіл Ейлера (діаграм Ейлера-Венна) дозволяє легко вирішити завдання, які звичайним шляхом можна розв'язати лише при складанні системи трьох рівнянь з трьома невідомими.

4) Кола Ейлера - наочна геометрична ілюстрація обсягів понять і відносин між елементами множини. Стосовно до логічних операцій: перетин, об'єднання представлені у вигляді кіл Ейлера.

Таким чином, кола Ейлера-Венна підтверджують висловлювання Б. Паскаля про те, що «Предмет математики настільки серйозний, що не можна втрачати жодної можливості зробити його більш цікавим». Я переконався в цьому, вирішуючи запропоновані завдання в підручнику математики і складаючи свої. Для себе я відкрив нове уявлення не тільки про світ чисел, але і те, що математика з нами і повсякденному житті.

Нагібін Ф.Ф. Канін Е.С. Математична скринька: Посібник для учнів 4-8 кл. середовищ. Шк. - 5-е изд. - М. Просвітництво, 1988. - 160 с. мул.