Як знайти площу перерізу кулі
Очевидно, що якщо відстань від центру кулі до площини дорівнює радіусу площині, то площину стосується кулі тільки в одній точці, і площа перетину буде дорівнює нулю, тобто якщо b = R, то S = 0. Якщо b = 0, то січна площина проходить через центр кулі. В цьому випадку перетин буде являти собою коло, радіус якого збігається з радіусом кулі. Площа цього кола буде, згідно з формулою, дорівнює S = πR ^ 2.
Ці два крайніх випадки дають кордону, між якими завжди буде лежати шукана площа: 0
Оскільки відстань від точки до площини визначається як довжина відрізка, перпендикулярного площині і починається в точці, другий кінець цього відрізка буде збігатися з центром кола перетину. Такий висновок випливає з визначення кулі: очевидно, що всі крапки окружності перетину належать до сфери, а отже, лежать на рівній відстані від центру кулі. Це означає, що кожна точка кола перетину може вважатися вершиною прямокутного трикутника, гіпотенузою якого є радіус кулі, одним з катетів - перпендикулярний відрізок, що з'єднує центр кулі з площиною, а другим катетом - радіус кола перерізу.
З трьох сторін цього трикутника задані два - радіус кулі R і відстань b, тобто гіпотенуза і катет. По теоремі Піфагора довжина другого катета повинна дорівнювати √ (R ^ 2 - b ^ 2). Це і є радіус кола перерізу. Підставляючи знайдене значення радіуса в формулу площі круга, легко прийти до висновку, що площа перетину кулі площиною дорівнює: S = π (R ^ 2 - b ^ 2) .В окремих випадках, коли b = R або b = 0, виведена формула повністю узгоджується з уже знайденими результатами.
Всі планети сонячної системи мають форму кулі. Крім того, кулясту або близьку до такої форму мають і багато об'єктів, створені людиною, включаючи деталі технічних пристроїв. Куля, як і будь-яке тіло обертання, має вісь, яка збігається з діаметром. Однак це не єдина важлива властивість кулі. Нижче розглянуті основні властивості цієї геометричної фігури і спосіб знаходження її площі.
Якщо взяти півколо або коло і провернути його навколо своєї осі, вийде тіло, зване кулею. Іншими словами, кулею називається тіло, обмежене сферою. Сфера являє собою оболонку кулі. і її перетином є коло. Від кулі вона відрізняється тим, що є порожнистої. Ось як у кулі. так і у сфери збігається з діаметром і проходить через центр. Радіусом кулі називається відрізок, прокладений від його центру до будь-якої зовнішньої точки. На противагу сфері, перетину кулі представляють собою кола. Форму, близьку до кулястої, має більшість планет і небесних тіл. У різних точках кулі є однакові за формою, але неоднакові за величиною, так звані перетину - кола різної площі.
Куля і сфера - взаємозамінні тіла, на відміну від конуса, незважаючи на те, що конус також є тілом обертання. Сферичні поверхні завжди в своєму перетині утворюють коло, незалежно від того, як саме вона обертається - по горизонталі або по вертикалі. Конічна ж поверхню виходить лише при обертанні трикутника уздовж його осі, перпендикулярної основи. Тому конус, на відміну від кулі. і не вважається взаємозамінним тілом обертання.
Найбільший з можливих кіл виходить при перетині кулі площиною, що проходить через центр О. Всі кола, які проходять через центр О, перетинаються між собою в одному діаметрі. Радіус завжди дорівнює половині діаметра. Через дві точки A і B, що розташовуються в будь-якому місці поверхні кулі. може проходити нескінченну кількість кіл або кіл. Саме з цієї причини через полюси Землі може бути проведено необмежену кількість меридіанів.
При знаходженні площі кулі розглядається, перш за все, площа сферичної поверхності.Площадь кулі. а точніше, сфери, що утворює його поверхню, може бути розрахована на підставі площі кола з тим же радіусом R. Оскільки площа кола є твір півкола на радіус, його можна розрахувати наступним чином: S =? R ^ 2Так як через центр кулі проходять чотири основних великих кола, то, відповідно площадьшара (сфери) дорівнює: S = 4? R ^ 2
Дана формула може бути корисна в тому випадку, якщо відомий або діаметр, або радіус кулі або сфери. Однак, ці параметри наведені в якості умов не у всіх геометричних задачах. Існують і такі завдання, в яких куля вписана в циліндр. В цьому випадку, слід скористатися теоремою Архімеда, суть якої полягає в тому, що площа поверхні кулі в півтора рази менше повної поверхні циліндра: S = 2/3 S цил. де S цил. -площа повної поверхні циліндра.