інтегрування дробів

Раціональної дробом називається дріб P (x) / Q (x), чисельник P (x) і знаменник Q (x) якої - многочлени. Раціональні дроби бувають неправильні, якщо ступінь багаточлена в її чисельнику не менш ступеня многочлена в знаменнику, і правильні, якщо ступінь багаточлена в чисельнику менше ступеня многочлена в знаменнику.

У будь-який неправильного дробу можна виділити її цілу частину. Для цього слід за правилом ділення многочленів розділити чисельник на знаменник. Тому будь-яку неправильну дріб можна представити у вигляді суми її цілої частини і деякої правильної дробу.

Наприклад, неправильну дріб

можна представити у вигляді

Таким чином, якщо необхідно проінтегрувати неправильну дріб, то, представивши її у вигляді суми многочлена та правильного дробу, за допомогою методу розкладання зведемо рішення до інтегрування правильного дробу.

Обмежимося інтеграцією лише правильних раціональних дробів. знаменниками яких є многочлени першого та другого ступеня. У загальному вигляді інтеграли від таких дробів записуються наступним чином:

При інтегруванні дробів можна використовувати наступну формулу, що отримується за допомогою методу заміни змінної:

Крім того, на нашому сайті є матеріал Інтегрування раціональних функцій і метод невизначених коефіцієнтів.

Підінтегральна функція є неправильною раціональної дробом. Використовуючи наведене вище її подання до вигляді суми многочлена та правильного дробу, а також формулу (3), послідовно отримаємо

Будь-інтеграл виду (2) зводиться до знаходження одного або двох наступних інтегралів:

Тому розглянемо ці інтеграли. Перший з них знаходиться за формулою (3) при a = 1.

А тепер формули для обчислення інших наведених інтегралів.

Формули (5) - (9) можна умовно вважати табличними інтегралами. З їх допомогою можна знайти будь-інтеграл виду (2). Попередньо такий інтеграл призводять до интегралам групи (4). Для цього в знаменнику підінтегральної функції виділяють повний квадрат (це робиться за допомогою формул скороченого множення і) і представляють його в одному з наступних видів:

У перших двох випадках заміна змінної

в третьому безпосереднє застосування методу розкладання призведе до одного або двох интегралам групи (4).

Рішення. Застосовуючи формулу (5) при a = 8. маємо

Рішення. Виділимо в знаменнику підінтегральної функції повний квадрат:

а потім зробимо заміну змінної t = x + 3 (тоді dt = dx). отримуємо

тобто отримали табличний інтеграл. Застосовуючи формулу (5), знайдемо

звідки, повертаючись до старої змінної, остаточно отримаємо

Рішення. Виділяючи в знаменнику підінтегральної функції повний квадрат, отримуємо

Зробимо тепер заміну змінної t = x - 3 (або x = t + 3; тоді dx = dt). Тому

Застосовуючи далі формули (8) і (5) при a = 1. отримаємо

Повертаючись до старої змінної, остаточно отримаємо