Інтеграл Дюамеля - студопедія
Нехай потрібно знайти струм в лінійному пасивному двухполюсника, перехідна характеристика якого відома. при включенні на вхід джерела ЕРС складної форми (ріс.44). Початковий запас енергії до моменту включення ЕРС вважаємо рівним нулю.
Виберемо довільно фіксований момент спостереження t і розрахуємо перехідний струм до цього часу. Очевидно, що величину струму в цей момент визначає вся крива вхідного напруги від t = 0 до моменту спостереження t. У зв'язку з цим введемо нове позначення поточного часу t. мінливого в межах 0 Замінимо плавну криву e (t) ступінчастою, що дає підставу вважати, в момент часу t = 0 включається постійна напруга e (0) 1 (t). впливає на ланцюг протягом усього інтервалу часу від нуля до ¥. Потім через проміжок часу t1 впливає De1. потім вступає через t2 De2 і т. д. Тоді: Під впливом кожного стрибка напруги виникає перехідний процес, що починається в відповідний момент t. Під впливом складової e (0) 1 (t) в ланцюзі з'явиться складова струму i (t) = e (0) h (t). оскільки відгук на одиничну функцію є перехідна характеристика. Через t1 під впливом De11 (t - t1) в ланцюзі з'явиться складова струму Di1 = De1 h (t - t1) тому DЕ1 впливає в проміжку часу t - t1. В інший час після цього часу t2 знову відбувається стрибкоподібне зміна напруги на величину De2. яке викличе знову складову струму: Di2 = De2 h (t - t2). Аналогічно, знайдемо. що в момент tk стрибок напруги Dek викличе струм Dik = Dek h (t - tk). На підставі методу накладення шуканий перехідний струм буде дорівнює сумі складових, знайдених для моменту t. тобто Для того щоб отримати вираз струму, відповідне плавно змінюється вхідній напрузі, необхідно число стрибків збільшувати до безкінечності (n ® ¥). проміжки часу зменшувати до нескінченно малої величини dt. Величину кожного стрибка напруги de можна представити у вигляді добутку швидкості зміни напруги de / dt на тривалість цього проміжку dt. т. е. Сума в межі перейде в інтеграл і для фіксованого моменту часу значення струму буде Отриманий вираз носить назву інтеграла Дюамеля. Використовуючи теорему згортки функцій можна отримати ще один вислів інтеграла Дюамеля: Приклад 6. Для електричного кола, наведеною в прикладі 1 розрахувати відгук на вхідний імпульс (рис.45).
Рішення. Для знаходження перехідної характеристики ланцюга зручно використовувати операційну характеристику. Дійсно, виходячи з визначення операторної характеристики, зображення відгуку
З іншого боку, зображення відгуку ланцюга на одиничну функцію на вході є зображенням перехідної характеристики
У прикладі 5 була знайдена операційна передавальна провідність
,
використовуючи яку знайдемо зображення перехідної характеристики
Перейдемо від зображення до оригіналу по теоремі розкладання:
Відповідний графік h (t) наведено на ріс.46.
Перевіримо правильність розрахунку перехідної характеристики. При t = 0 h (0) повинна бути дорівнює нулю, так як перехідна характеристика являє собою струм через індуктивність при нульових початкових умовах (на підставі закону комутації струм в індуктивності стрибком змінитися не може). Дійсно h (0) »0. При t ® ¥ в ланцюзі встановлюється стаціонарний режим, ток i3 = 1 / (R1 + R2 + R3). h (¥) = 0,0125 = i3пр.
Розрахуємо відгук ланцюга на вхідний сигнал.
Уявімо перехідну провідність в загальному вигляді
Протягом проміжку часу від 0 до tи / 2 струм в індуктивності
Оскільки е (0) = 0. то перший член у виразі для шуканого струму відсутня і тоді
На інтервалі часу від tи / 2 до tи.
Крім того, при t = tи / 2 вхідна напруга стрибком змінюється на величину Em / 2.
У момент часу t = tи вхідна напруга стрибком зменшується до нуля, що еквівалентно включенню постійної ЕРС зворотної полярності і величиною, рівною Em. Отже, при t> tи відгук ланцюга необхідно розраховувати з виразу:
Графік залежності струму в індуктивної гілки від часу при заданому вхідному сигналі наведений на ріс.47 (для випадку tи = 3 / | P1 |).
