Індекси Міллера - студопедія

Виберемо систему координат, осі яких збігаються з трьома ребрами елементарної кристалічної комірки. Початок координат помістимо в одному з вузлів решітки, в якому перетинаються ці ребра. Осьові одиниці виберемо рівними довжині ребер кристалічної комірки, т. Е. Масштаб по осі X дорівнюватиме а, по осі Y - b і по осі Z - с. Разномасштабность осей координат цілком виправдовує себе, тому що дозволяє ввести найбільш раціональну систему індексів. Положення будь-якій площині в просторі визначається трьома крапками. У вибраній системі координат зручно в якості трьох опорних точок взяти точки перетину заданої площини з осями координат. Нехай обумовлена ​​вузлова площина S перетинає осі координат в точках А, В, С (рисунок 2.5) і відсікає по осях відрізки х = 1, y = 2, z = 3.

Далі надходять за наступною схемою;

1) беруть відрізки, що відсікаються площиною на осях координат: 1: 2: 3;

2) беруть величини, зворотні цим відрізкам:;

3) призводять до спільного знаменника:;

4) відкидають знаменник: 6: 3: 2 - індекси Міллера для площини.

Міллеровськие індекси площин полягають в круглі дужки - (632), знак відносини між індексами не ставиться.

Якщо площина паралельна будь-якої осі, її проекція на цю вісь дорівнює нескінченності. Для такої площини відповідний індекс Міллера дорівнює нулю. Якщо площину відсікає певний відрізок з негативним знаком, то відповідний індекс Міллера буде також негативним, і риска ставиться зверху над індексами.

Розглянемо приклад кубічної решітки. Нас цікавить площину abcd (рисунок 2.6). Нехай ребро куба дорівнює 1. Площина abcd має індекси Міллера (100). Якщо ми хочемо визначити не одну площину, а сімейство площин, то індекси Міллера беруться у фігурні дужки.

Площина cdeq має індекси Міллера (101). Площина deg має індекси Міллера (111). Таким чином, ми описали три основні площини для кубічної решітки (рисунок 2.7).

Індекси Міллера для направлення представляють собою набір цілих чисел, відношення яких один до одного так само найменшим проекція вектора, паралельного виділеного напрямку, але проходить через початок координат. Індекси Міллера для напрямків на відміну від індексів Міллера для площин поміщаються не в круглі, а в квадратних дужках.

Розглянемо той же приклад кубічної решітки (рисунок 2.6):

Напрямок ОХ: [100].

Напрямок ОА: [101].

Напрямок перпендикулярний площині (111): [111].

Змоделюємо частки в вузлах кристалічної решітки у вигляді ідеальних (не деформовані) дотичних куль. Тоді щільність упаковки (коефіцієнт упаковки або компактність даної решітки) являє собою відношення обсягу, займаного кулями в елементарній комірці, до всього обсягу самої елементарної комірки. Як приклад розглянемо примітивну кубічну осередок (рисунок 2.8).

Нехай радіус кулі r. Тоді довжина ребра куба 2r. Обсяг одного кулі. Всередину потрапляє частина кулі. Таких куль 8, і кожен належить осередку на 1/8. Тоді обсяг, яку він обіймав кулями всередині осередку,. Об'єм комірки:. І щільність упаковки: f = = = 0,52.