ін геометрія

ГЛАВА III.
ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

§ 38. ЗАЛЕЖНІСТЬ МІЖ КУТАМИ,
Утворена двома паралельних прямих і січної.

Ми знаємо, що дві прямі паралельні, якщо при перетині їх третьої прямий рівні відповідні кути, або внутрішні, або зовнішні навхрест лежачі кути, або сума внутрішніх, або сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 2d. Доведемо, що вірні і зворотні теореми, а саме:

Якщо дві паралельні прямі пересічені третьої, то:

1) відповідні кути рівні;
2) внутрішні навхрест лежачі кути рівні;
3) зовнішні навхрест лежачі кути рівні;
4) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2d;
5) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 2d.

Доведемо, наприклад, що якщо дві паралельні прямі пересічені третьої прямий, то відповідні кути рівні.

Нехай прямі АВ і СD паралельні, а МN - їх січна (рис. 202) .Докажем, що відповідні кути 1 і 2 рівні між собою.

Припустимо, що / 1 та / 2 нерівні. Тоді при точці О можна побудувати / МОК, відповідний і рівний / 2 (рис. 203).

Але якщо / МОК = / 2, то пряма ОК буде паралельна СD (§ 35).

Отримали, що через точку Про проведені дві прямі АВ і ОК, паралельні прямій СD. Але цього бути не може (§ 37).

Ми прийшли до протиріччя, тому що допустили, що / 1 та / 2 нерівні. Отже, наше припущення є неправильним і / 1 має дорівнювати / 2, т. Е. Відповідні кути рівні.

Встановимо співвідношення між іншими кутами. Нехай прямі АВ і СD паралельні, а МN - їх січна (рис. 204).

Ми тільки що довели, що в цьому випадку відповідні кути рівні. Покладемо, що якісь два з них мають по 119 °. Обчислимо величину кожного з решти шести кутів. На підставі властивостей суміжних і вертикальних кутів ми отримаємо, що чотири кути з восьми матимуть по 119 °, а інші - по 61 °.

Виявилося, що як внутрішні, так і зовнішні навхрест лежачі кути попарно рівні, а сума внутрішніх або зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180 ° (або 2d).

Те ж саме буде мати місце і при будь-якому іншому значенні рівних відповідних кутів.

Слідство 1. Якщо кожна з двох прямих АВ і СD паралельна одній і тій же третьої прямий МN, то перші дві прямі паралельні між собою (рис. 205).

Справді, провівши січну ЕF (рис. 206), отримаємо:
а) / 1 = / 3, так як АВ || МN; б) / 2 = / 3, так як СО || МN.

Значить, / 1 = / 2, а це кути відповідні при прямих АВ і СD і січною ЕF, отже, прямі АВ і СD паралельні.

Слідство 2.Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до іншої (рис. 207).

Справді, якщо ЕF _ | _ АВ, то / 1 = d; якщо АВ || СD, то / 1 = / 2.

Отже, / 2 = d т. Е. ЕF _ | _ СD.