Границя числової функції - студопедія

Кінцевий межа функції при. Нехай функція визначена в проколеної околиці точки. т. е. на множині. У точці значення може бути не визначено.

Дамо визначення кінцевого межі функції при мовою «-» (по Коші).

Визначення. Число називається границею функції в точці (або при), якщо для> 0 можна вказати таке число ()> 0, що при всіх. б відповідала умовам. виконується нерівність. або, в більш короткої записи:

У визначенні використовуються поняття -окрестності і проколеної -окрестності, тому його і називають визначенням мовою «-» і коротко записують так:

Геометрична інтерпретація визначення кінцевого межі функції по Коші дана на малюнку.

З малюнка видно, що відображається функцією в. т. е. будь-якого з проколеної -окрестності точки відповідає значення. потрапляє в -окрестность точки.

Односторонні межі функції. При розгляді кінцевого межі функції при передбачалося, що точка. прибл-жаясь к. могла залишатися як зліва, так і праворуч від неї.

Іноді доводиться розглядати межа функції при усло-вії, що точка. наближаючись до точки. залишається або правіше, або лівіше її.

Введемо поняття лівої і правої околиць точки.

Визначення. Лівою -окрестностью точки (позначається) називаються ється безліч всіх. задовольняють нерівності

Аналогічно визначається і права -окрестность.

Визначення. Число називається лівим межею (лівостороннім межею або межею зліва) функції в точці. якщо для будь-якого> 0 існує = ()> 0, таке, що для

Позначають межу зліва.

Аналогічно визначається правий межа функції в точці.

Зауваження. Якщо в точці функція має кінцеві правий і лівий межі і вони рівні між собою, то це число є границею функції в точці:

Кінцевий межа функції при ¥.

Визначення. Число називається границею функції при + ¥. якщо для будь-якого> 0 існує поклади-тельное число. таке, що нерівність виконується для всіх. при яких>.

Аналогічно определяетcя межа і при - ¥

безліч <|>> = (+ ¥) називають -окрестностью беско-нечно віддаленої точки.

Нескінченні межі функції при. Розглянемо випадок, коли функція при по абсолютній величині неогр-ніченний зростає. Така функція не має кінцевого межі, тому необхідно узагальнити поняття границі функції.

Визначення. Межа функції при називаються ється нескінченним, якщо для лю-бого позитивного числа> 0 су-ществует число> 0, таке, що для всіх значень. задовольнив ряющий нерівності. буде виконуватися не-рівність | |>.

Якщо прагне до беско-кінцівках при. то її називають нескінченно великою функціонально-їй і пишуть

Якщо прямує до нескінченності при і при цьому приймає тільки позитивні або тільки негативні значення, пишуть відповідно:

Нескінченну границю функції при ¥.

Визначення. Межа функції при + ¥ (або - ¥) називається нескінченним, якщо для будь-якого як завгодно великого числа знайдеться таке число> 0, що нера-венство | |> Виконується для будь-кого. для якого | |>: