Головні нормальні напруги - студопедія

Інваріанти тензора напруги

Майданчики, на яких відсутні дотичні напруження, називаються майданчиками головних нормальних напруг s11. s22. s33. Індекси при останніх призначаються за правилом

тобто індекс "1" присвоюється більшого, а "3" - меншим із значень.

Тензор напружень, записаний в ортогональній системі координат, що збігається з напрямками головних напружень, має вигляд

Це означає, що напружений стан в будь-якій точці тіла, що деформується викликано чистим розтягуванням або стисненням за трьома взаємно перпендикулярним головних напрямках.

Головні напруги є корінням кубічного рівняння

Коефіцієнти. . цього рівняння називаються інваріантами тензора напружень. У довільній ортогональній системі координат і ортогональній системі координат, що збігається з напрямками головних нормальних напруг вони мають вигляд

Величина, складена з першого інваріанта

називається середнім (або гідростатичним) тиском в точці і має велике значення в теорії пластичності і теорії ОМД. У тензорною формі вона записується так:

Девіатор тензора напруги і його інваріанти

Так як матеріали мають, як правило, різними механічними властивостями по відношенню до зсуву і рівномірному всебічному стиску, доцільно уявити тензор напруги у вигляді суми двох тензорів

Тут s × Е - так званий кульової тензор, що відповідає середньому тиску в певній точці деформованого тіла і відповідає за зміну його обсягу.

. (Е - одиничний тензор)

а - тензор, що характеризує дотичні напруження в тій же точці, називається девіатором напруги і відповідає за зміну форми. Він характеризує наскільки заданий напружений стан відрізняється від всебічного рівного розтягування або стиснення з головними напруженнями рівними s.

Головні напрямки девіатора напруги і тензора напруги Тs збігаються, а головні значення S11. S22. S33 відрізняються від s11. Б22. s33 на величину середнього тиску s.

Компоненти девіатора будемо позначати через Sij. Тоді компоненти тензора Тs можна уявити через компоненти девіатора і кульового тензора s × Е так:

Інваріанти девіатора напруги мають вигляд:

Велику роль в теорії пластичності грає другий інваріант. неотрицательную величину

називають інтенсивністю дотичних напружень. У головних напружених вона має вигляд

У тензорною формі вона запишеться так

Інтенсивність дотичних напружень звертається в нуль, коли напружений стан є станом гідростатичного тиску

Для чистого зсуву

; ;

Тут t - напруга чистого зсуву. отже

У разі одноосного розтягу (стиску) в напрямку, наприклад, осі Х

; ;