Глава 6 пружне розсіяння частинок

6.1. Загальна постановка задачі

У теоретичної механіки в рамках завдання двох тіл вирішують в основному два завдання: завдання визначення значень енергії системи, траєкторій частинок, що рухаються в обмеженій області простору, і завдання розсіювання частинок, яка включає в себе дослідження пружного розсіювання. Розсіювання двох часток називають пружним, якщо в цьому процесі не відбувається зміни внутрішнього стану взаємодіючих частинок.

Постановка завдання розсіювання полягає в наступному. Перш за все зручно вважати початковим моментом часу

. При цьому передбачається, що при частинки не взаємодіють між собою (є вільними), так як вони нескінченно далекі один від одного і внаслідок цього енергія їх взаємодії, що є спадною функцією відстані між ними, дорівнює нулю. Далі частинки взаємодіють між собою, однак при вони розходяться на велику відстань і їх енергія взаємодії знову звертається в нуль.

Завдання полягає в тому, щоб визначити механічний стан системи частинок при

, задавши їх стан при . У квантовій механіці стану частинок при називають In-станами, а при - Out-станами. Зручно дотримуватися цієї термінології і в теоретичній механіці. Легко бачити, що механічне стан системи, що складається з двох частинок, при і визначається їх швидкостями (або імпульсами), тому вектори характеризують In-стану, а вектори-Out-стану системи. Крім того потрібно також задати маси частинок , енергію їх взаємодії і параметр , званий прицільний відстанню.

Швидкості частинок задаються щодо деякої системи відліку, яку в теорії розсіювання зазвичай називають лабораторної системою або л -системою. Якщо розглядається задача про розсіяння двох пучків частинок (в такому випадку передбачається, що в одному з пучків всі частинки мають однакові маси, скажімо

, і швидкості , а в другому і то, як буде видно з подальшого, потрібно також задати кут визначає орієнтацію площині руху кожної з пар щодо системи відліку, пов'язаної з центром мас будь-якої пари (цю систему називають ц -системою).

Завдання розсіювання двох часток можна вирішувати в загальному вигляді, використовуючи отримане вище рішення задачі двох тіл. Справді, завдання двох тіл зведемо до задачі про рух

-точки і далі, з огляду на збереження швидкості центру мас даної системи в процесі розсіювання (внаслідок того, що система ізольована), знаходимо

де

- швидкість центру мас, а швидкість -точки після розсіювання. величину знайдемо з закону збереження енергії для -точки (закон збереження енергії в задачі двох тіл відносно ц системи):

Але так як . Тому

, де , а одиничний вектор спрямований по або .

Процес розсіювання в ц-системі можна зобразити графічно (рис. 1.6) на площині

, що є площиною руху взаємодіючих частинок. Нагадаємо, що якщо як на рис. 1.6, то згідно (38.5)

,

де

-радіус - вектор -точки.

Так як в ц-системі в будь-який момент часу

(І, отже, і ), То кут між і дорівнює куту між і і, отже, швидкості частинок в будь-який момент спрямовані протилежно. Таким чином, результат пружного розсіювання частинок зводиться в ц-системі до повороту швидкостей обох частинок, які залишаються взаємно протилежними і незмінними за величиною. Але так як вектор паралельний , цей кут дорівнює куту відхилення -точки.

Позначимо кут відхилення буквою

. Врахуємо, що полярний кут виражається через певний інтеграл:

де точка повороту

є коренем рівняння

.

У підінтегральний вираз (3.6) входять параметри, що характеризують

-точку. Очевидно, що

Ми тут скористалися загальним властивістю симетричності траєкторії по відношенню до прямої, проведеної в найближчу до центру поля точку орбіти. Тому обидві асимптоти орбіти скажімо,

-точки, перетинають вказану пряму під однаковими кутами. кут називають кутом розсіювання в системі центру мас; він дорівнює куту між двома асимптотами до траєкторії -точки, а - кут між асимптотой траєкторії і апсідальной вектором.

Прицільне відстань - це відстань між асимптотами траєкторій частинок в ц-системі, за якими частинки рухаються до розсіювання. Його також можна визначити як мінімальну відстань, на якому частинки пролетіли б один від одного під час відсутності взаємодії між ними.

У задачі розсіювання зберігаються величини

і прийнято записувати через швидкість і прицільне відстань :

,

так як Звідси видно, що

дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з центра поля на асимптоту траєкторії -точки, або, еквівалентно, це мінімальна відстань, на якому -точка пройшла б від центру якби взаємодія між нею і полем відсутнє б взагалі.

Формулами (1.6), (4.6) дається рішення завдання про пружному розсіянні двох частинок. Ми бачимо, що ця задача є лише окремим випадком задачі двох тіл, коли потрібно знати лише швидкості частинок після розсіювання при

. кут розсіювання залежить лише від , , а так само від виду взаємодії часток і параметрів, які його характеризують, тобто від