Геометричний зміст похідної - студопедія

Похідна і диференціал

Нехай функція у = f (x) визначена на проміжку X. Візьмемо точку
х Î Х. Дамо значенням х приріст D х ¹ 0, тоді функція одержить збільшення D у = f (x + D х) - f (x).

Похідної функції у = f (x) називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при прагненні останнього до нуля (якщо ця межа існує):.

Похідну також позначають y 'і dy / dx.

Геометричний зміст похідної

Щоб зрозуміти геометричний зміст похідної, розглянемо задачу про дотичній.

Розглянемо на площині графік неперервної функції у = f (x) (див. Рисунок 3.1).

Побудуємо дотичну до цієї кривої в точці М0 (х0. У0). Перш за все, необхідно визначити поняття дотичній. Для цього дамо аргументу х0 приріст D х і перейдемо на кривій у = f (x) від точки
М0 (х0. F (x0)) до точки М1 (х0 + D х, f (х0 + D х)). Проведемо січну М0 М1. Під дотичній до кривої у = f (x) розуміють граничне положення січної М0 М1 при наближенні точки М1 до точки М0. тобто при Dх®0.

Кутовий коефіцієнт січної М0 М1 (тангенс кута j нахилу цієї прямої до осі абсцис) може бути знайдений з DМ0 М1 N:. Тоді кутовий коефіцієнт дотичній (тангенс кута a) дорівнює.

Таким чином, похідна функції являє собою тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції до осі абсцис (кутовий коефіцієнт дотичній).