Геометричне зображення комплексних чисел

На осі Ох розташовані всі дійсні числа, а на осі Оу - чисто уявні, тобто комплексні числа виду.

Площина, на якій зображуються комплексні числа, називається комплексної площиною (її також позначають C). Вісь абсцис називається дійсною віссю. а вісь ординат - уявної.

Довжина вектора. зображує комплексне число. є модуль комплексного числа:

а кут. який утворює цей вектор з віссю Ох. називається аргументом комплексного числа.

Очевидно, що кут визначений з точністю до.

Домовимося називати головним значенням аргументу - значення кута в інтервалі. Символічно головне значення аргументу комплексного числа позначають:

Тоді всю сукупність значень аргументу позначають символом:

З рис. 1 легко отримати співвідношення:. тоді

Визначення. Подання комплексного числа у вигляді називається тригонометричної формою записи комплексного числа.

Для скорочення запису комплексних чисел в тригонометричної формі зручно використовувати формулу Ейлера:

Тоді комплексне число можна записати у вигляді:

Визначення. Подання комплексного числа у вигляді називається показовою формою записи комплексного числа.

Таким чином, комплексне число може бути записано в трьох рівноправних формах:

- алгебраїчна форма запису комплексного числа;

- тригонометрическая форма запису комплексного числа;

- показова форма запису комплексного числа,

Приклад 3. Записати комплексні числа в трьох формах запису:

а); б); б) і зобразити їх векторами на площині.

Рішення. а) - алгебраїчна форма запису комплексного числа. Знаходимо модуль і аргумент комплексного числа.

- тригонометрическая форма запису комплексного числа;

- показова форма запису комплексного числа.

б) - алгебраїчна форма запису комплексного числа. Знаходимо модуль і аргумент комплексного числа Тут Значить,

- тригонометрическая форма запису комплексного числа;

- показова форма запису комплексного числа.

в) - алгебраїчна форма запису комплексного числа. Знаходимо модуль і аргумент комплексного числа Тут

- тригонометрическая форма запису комплексного числа;

- показова форма запису комплексного числа.

Зображення комплексних чисел представлені на рис. 2.

4.3. Формула Муавра і добування кореня п-го ступеня з комплексного числа

Обчисливши твір комплексних чисел, записаних в тригонометричної формі, можна переконатися, що модуль і аргумент комплексного числа мають наступні властивості:

. Модуль твори комплексних чисел дорівнює добутку модулів цих чисел:.

. Аргумент твори комплексних чисел дорівнює сумі аргументів цих чисел:.

Використовуючи ці властивості, легко можна отримати формулу зведення комплексного числа в цілу позитивну ступінь, а саме:

або в показовій формі запису:

Визначення. Коренем п-го ступеня з комплексного числа називається таке комплексне число. яке, будучи зведено в ступінь п дасть число.

З визначення і формули Муавра ясно, що модуль шуканого кореня буде. а аргумент

Надавати значення, великі. не має сенсу, так як будемо отримувати вже наявні значення аргументу (з точністю до).

Отже, корінь п-го ступеня з комплексного числа має п різних значень, модулі яких однакові (), тобто все значення кореня лежать на окружності з центром на початку координат радіуса. а аргументи послідовних значень відрізняються на кут.

Приклад 4. Використовуючи формулу Муавра, обчислити:

Рішення. а) Уявімо число в тригонометричної формі. маємо:

- тригонометрическая форма запису комплексного числа.

Застосовуючи формулу Муавра, отримаємо:

б) Уявімо число в тригонометричної формі. Маємо:. Тому

- тригонометрическая форма запису комплексного числа.

Застосовуючи формулу Муавра, отримаємо:

Приклад 5. Знайти всі значення кореня:.

Рішення. Уявімо комплексне число в тригонометричної формі. тут Тому

За формулою (1) знаходимо:

Знайденим коріння відповідають вершини правильного п'ятикутника, вписаного в коло радіуса з центром в початку координат (рис. 3).