гаусові інтеграли

Завдання 1. Довести, що з точністю до числового множника $$ \ int \ prod_i dx_i \; e ^ x_j> = (\ det M) ^ $$ (підсумовування по $ i, j $ мається на увазі), де $ M_ $ - симетрична матриця з усіма позитивними власними значеннями. Надіслати рішення

Завдання 2. Обчислити інтеграл $$ \ int \ prod_i (dx_i dx_i ^ *) \: e ^ x_j + \ alpha_i ^ * x_i + x_i ^ * \ alpha_i>, $$ де $ M_ $ - ермітова матриця, $ \ alpha_i $ - комплексні параметри, а інтегрування по комплексної змінної $ x_i $ виглядає як $$ \ int dx_i dx_i ^ * F (x, x ^ *) = \ int d (Re \: x) d (Im \: x) F (x , x ^ *). $$ Відправити рішення

Завдання 3. Визначимо інтеграл по ферміонами змінної $ \ Psi $, $ \ bar $ наступним чином $$ \ int d \ Psi d \ bar = \ int d \ Psi d \ bar \ cdot \ Psi = \ int d \ Psi d \ bar \ cdot \ bar = 0 $$ $$ \ int d \ Psi d \ bar \ cdot \ bar \ Psi = 1. $$ Крім того, будемо вважати, що змінні $ d \ Psi, d \ bar, \ Psi, \ bar $ антікоммутіруют між собою. Зокрема, $ \ Psi \ cdot \ Psi = 0 $. Показати, що з точністю до чисельного множника $$ \ int \ prod_i (d \ Psi_i d \ bar_i) \: e ^ _i M_ \ Psi_j + \ bar_i \ Psi_i + \ bar_i \ alpha_i> = e ^ _i M_ ^ \ alpha_j> \ cdot \ det M, $$ де все $ d \ Psi_i, d \ bar_i, \ Psi_i, \ bar_i $ антікоммутіруют між собою, $ \ alpha_i $, $ \ bar_i $ - параметри, які антікоммутіруют як між собою, так і з $ \ Psi_i, \ bar_i $; $ M $ - невироджена матриця, $ i, j = 1, \ dots, N $. Вказівка: а) Показати спочатку, що ферміони інтеграл інваріантний щодо зсуву $ \ Psi_i \ rightarrow \ Psi_i + C_i $, де $ C_i $ - антікоммутіруют параметр. б) Переконатися, що $$ \ int d \ Psi_N \ dots d \ Psi_1 d \ bar_N \ dots d \ bar_1 \ bar_ \ dots \ bar_ \ Psi_ \ dots \ Psi_ = \ varepsilon_ \; \ varepsilon_. $$ Відправити рішення