Функція щільності розподілу ймовірності (ПВР) - студопедія
Імовірність dP того, що неперервна випадкова величина прийме значення, що належить інтервалу (x. X + dx) дорівнює
,
де f (x) - функція щільності розподілу ймовірності (є ймовірністю, що припадає на одиницю довжини, розглянутого ділянки).
Імовірність того, що випадкова величина приймає значення з інтервалу [x1, x2] розраховується за формулою:
Функція f (x) показує наступну важливу інформацію: ймовірність числової величиною х прийняти значення більше числа x1 і менше числа x2 дорівнює площі під кривою f (x) на відрізку [x1. x2]. Зрозуміло, це стосується будь-яких x1 і x2. близьких між собою або далеких, розташованих в будь-якому місці прямий х.
З найбільш відомих видів розподілу неперервних випадкових величин найбільш часто використовують нормальний розподіл, що описується законом Гаусса. Вперше нормальний закон був виявлений в Х1Х столітті в застосуванні до теорії помилок вимірювання Лапласом і Гаусcом.
Гаусс (Gauss) Карл Фрідріх (30.4.1777, Брауншвейг, - 23.2.1855, Геттінген), німецький математик, що вніс фундаментальний внесок також в астрономію і геодезію
Зараз, після доведеною А. М. Ляпуповим центральної граничної теореми. стало вже зрозумілим, чому цей нормальний закон набув значного поширення в техніці, біології, соціології, психології та багатьох інших сферах людських знань.
Ляпунов Олександр Михайлович [25.5 (6.6). 1857, Луцьк, - 3.11.1918, Одеса], український математик і механік, академік Харківської АН.
Центральна гранична теорема стверджує, що завжди, коли випадкова величина утворюється в результаті складання великого числа незалежних випадкових величин з кінцевими дисперсіями, закон розподілу цієї випадкової величини виявляється практично нормальним законом. А оскільки випадкові величини завжди породжуються безліччю причин, і частіше за все жодна з них не має дисперсії, яку можна порівняти з дисперсією самої випадкової величини, то більшість можна зустріти на практиці випадкових величин підпорядковане нормальному закону розподілу.
Наприклад, зростання людини, на який впливають дуже багато факторів, серед яких в масі немає домінуючих за своїм впливом.
Нормальний розподіл, також зване гауссовским розподілом або розподілом Гаусса - розподіл ймовірностей, яке задається функцією щільності розподілу:
де параметр # 956; - середнє значення (математичне очікування) випадкової величини і вказує координату максимуму кривої щільності розподілу, а # 963; ² - дисперсія.
Щільність розподілу ймовірностей нормального закону, причому,
1,2 - графіки з одним середнім # 956; і різними стандартними відхиленнями # 963 ;. причому,
Графік щільності ймовірності нормального закону розподілу симетричний відносно вертикальної прямої x max = # 956 ;. Причому, в точці
x max = # 956; функція має максимум, рівний.
Крім того, площа під всієї кривої f (x) дорівнює 1, тобто ймовірність для х потрапити на пряму дорівнює 1, і ця подія достовірне. Це властивість ще називається умовою нормування.
змінюючи # 956 ;. можна здійснювати паралельний перенос кривої f (x) уздовж осі х. Видно також, що найбільш вірогідна поява числа х в експерименті поблизу # 956 ;. площа під f (x) на будь-якому відрізку, що містить # 956 ;. найбільша.
число # 963; є середнє відхилення числового показника х від числа # 956 ;, чим менше # 963 ;, тим "крутіше" стає "пагорб" f (x) і тим менше ймовірність для х сильно відрізнятися від μ.
Навпаки, при великих # 963; "Пагорб" f (x) розтікається по "рівнині" і з майже однаковою ймовірністю х може з'явитися як поблизу # 956 ;, так і як завгодно далеко від # 956; .
Імовірність того, що випадкова величина відхилиться від свого математичного очікування на величину, більшу, ніж утроенное середнє квадратичне відхилення, практично дорівнює нулю.
Розрахунки показали, що ймовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини в інтервали значень наступні:
I. Р (μ- # 963; II. P (μ-2 # 963; III. Р (μ-3 # 963; На практиці вважається, що якщо для будь - якої випадкової величини виконується правило трьох сигм, то ця випадкова величина має нормальний розподіл. Розподіл Гаусса - одне з найпоширеніших у фізиці. Такому розподілу підкоряються помилки вимірювання фізичних величин, результати стрільби по мішені, розподіл проекцій швидкостей молекул газу (розподіл Максвелла), ймовірність малих флуктуацій і багато іншого.
