Формули скороченого множення
При розрахунку алгебраїчних многочленів для спрощення обчислень використовуються формули скороченого множення. Всього таких формул сім. Їх все необхідно знати напам'ять.
Слід також пам'ятати, що замість «a» і «b» в формулах можуть стояти як числа, так і будь-які інші алгебраїчні многочлени.
різниця квадратів
Різниця квадратів двох чисел дорівнює добутку різниці цих чисел і їх суми.
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
- 15 2 - 2 2 = (15 - 2) (15 + 2) = 13 · 17 = 221
- 9a 2 - 4b 2 з 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)
квадрат суми
Квадрат суми двох чисел дорівнює квадрату першого числа плюс подвоєний добуток першого числа на друге плюс квадрат другого числа.
(A + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Зверніть увагу, що за допомогою цієї формули скороченого множення легко знаходити квадрати великих чисел. не використовуючи калькулятор або множення в стовпчик. Пояснимо на прикладі:
- Розкладемо 112 на суму чисел, чиї квадрати ми добре пам'ятаємо.
112 = 100 + 1 - Запишемо суму чисел в дужки і поставимо над дужками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2 - Скористаємося формулою квадрата суми:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Пам'ятайте, що формула квадрат суми також справедлива для будь-яких алгебраїчних многочленів.
Застереження!
(A + b) 2 не дорівнює (a 2 + b 2)
квадрат різниці
Квадрат різниці двох чисел дорівнює квадрату першого числа мінус подвоєний добуток першого на друге плюс квадрат другого числа.
(A - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
Також варто запам'ятати дуже корисне перетворення:
(A - b) 2 = (b - a) 2
Формула вище доводиться простим розкриттям дужок:
(A - b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2
Куб суми двох чисел дорівнює кубу першого числа плюс утроенное твір квадрата першого числа на друге плюс утроенное твір першого на квадрат другого плюс куб другого.
(A + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Як запам'ятати куб суми
Запам'ятати цю «страшну» на вигляд формулу досить просто.
- Вивчіть, що на початку йде «a 3».
- Два багаточлена посередині мають коефіцієнти 3.
- Згадаймо, що будь-яке число в нульовому ступені є 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко помітити, що у формулі йде зниження ступеня «a» і збільшення ступеня «b». У цьому можна переконатися:
(A + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Застереження!
(A + b) 3 не дорівнює a 3 + b 3
куб різниці
Куб різниці двох чисел дорівнює кубу першого числа мінус утроенное твір квадрата першого числа на друге плюс утроенное твір першого числа на квадрат другого мінус куб другого.
(A - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Запам'ятовується ця формула як і попередня, але тільки з урахуванням чергування знаків «+» і «-». Перед першим членом «a 3» стоїть «+» (за правилами математики ми його не пишемо). Значить, перед наступним членом стоятиме «-», потім знову «+» і т.д.
(A - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
сума кубів
Не плутати з кубом суми!
Сума кубів дорівнює добутку суми двох чисел на неповний квадрат різниці.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
Сума кубів - це твір двох дужок.
- Перша дужка - сума двох чисел.
- Друга дужка - неповний квадрат різниці чисел. Неповним квадратом різниці називають вираз:
(A 2 - ab + b 2)
Даний квадрат неповний, тому що посередині замість подвоєного твори звичайне твір чисел.
різниця кубів
Не плутати з кубом різниці!
Різниця кубів дорівнює добутку різниці двох чисел на неповний квадрат суми.
a 3 - b 3 = (ab) (a 2 + ab + b 2)
Будьте уважні при записі знаків.
Застосування формул скороченого множення
Слід пам'ятати, що всі формули, приведені вище, використовується також і справа наліво.
Багато прикладів в підручниках розраховані на те, що ви за допомогою формул зберете многочлен назад.
- a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
- (AС - 4b) (ac + 4b) = a 2 c 2 - 16b 2
Таблицю з усіма формулами скороченого множення ви можете скачати в розділі «Шпаргалки».