Формула моменту інерції диска, j

Момент інерції тіла відносно осі обертання є мірою інертності тіла, що обертається.

Момент інерції тіла, яке можна представити у вигляді сукупності дискретних частинок, щодо осі обертання дорівнює:

де - маса i-ой матеріальної точки тіла; - відстань від матеріальної точки i до осі обертання. При розгляді твердого тіла як суцільного середовища з безперервним розподілом маси визначення моменту інерції замінюють наступним:

де - елемент маси тіла; - щільність тіла; - елементарний об'єм.

Момент інерції однорідного диска

Розглянемо, як знаходиться момент інерції однорідного диска, якщо його радіус дорівнює R, а маса m. Вісь обертання нехай проходить через центр інерції даного диска (точку О) і буде перпендикулярна його площині (рис.1).

Диск можна замінити сукупністю нескінченно тонких кілець, радіуси яких змінюються від нуля до R. На рис.1 виділено одне з таких кілець. Розглянемо це кільце. Радіус його позначимо як Момент інерції даного кільця (позначимо його дорівнює (див. Формулу моменту інерції тонкого кільця):

Масу даного кільця (а точніше циліндра) можна уявити як:

де - висота циліндра. Підставами вираз для в формулу (3) і проведемо інтегрування:

де - маса диска.

Якщо диск можна вважати абсолютно тонким або він є частиною циліндра, то формула для обчислення моменту інерції диска відносно осі, що проходить через його центр мас, і перпендикулярній площині диска, має вигляд:

У разі плоского розподілу мас виконується рівність:

де осі обертання збігаються з осями декартово системи координат. І якщо ми будемо вважати, що вісь Z проходить через центр інерції диска і перпендикулярна його площині, то моменти інерції щодо осі X і Y дорівнюватимуть:

Іноді величини моментів інерції називають моментами інерції диска щодо його діаметрів.

Приклади розв'язання задач за темою «Момент інерції диска»

Радіус однорідного диска дорівнює R, його маса m. Який момент інерції диска відносно осі, яка проходить через середину одного з радіусів диска, перпендикулярно його площині?

Момент інерції диска відносно осі, що проходить через його центр мас, і перпендикулярній площині диска, має дорівнювати:

Ось навколо, якої відбувається обертання нашого диска, паралельна основний, і зрушена від неї на відстань. Для такої ситуації підходить теорема Штейнера:

Підставами з (1.1) і врахуємо відстань між осями, отримаємо:

Знайти момент інерції диска відносно осі, що проходить через його центр перпендикулярно площині диска, якщо його маса m, радіус R, якщо в ньому є круглий отвір, радіус якого r. Центр отвору знаходиться на відстані d від осі диска (рис.2).

Момент інерції системи (J) можна знайти як:

де - момент інерції диска. Знайдемо момент інерції вирізки (). Використовуємо теорему Штейнера:

де; - маса вирізаної частини диска. Підставами вираз (2.3) в формулу (2.1), маємо:

Знайдемо співвідношення між масою диска і масою частини, яку вирізали.

де h - товщина диска. Маса частини, яку вирізали з диска, дорівнює:

Знайдемо відношення мас:

Маса частини, яку вирізали дорівнює:

Підставами вираз (2.8) в формулу (2.4), маємо: