Формула бінома Ньютона
Виведемо формулу, що дозволяє зводити двочлен (біном) (а + b) в будь-яку цілу неотрицательную сте-пень. Це формула бінома Ньютона. Вона має такий вигляд:
.
Доведемо цю формулу методом математичної індукції по n. де n ≥0.
Формула вірна при n = 0, 1, 2. Справді,
;
;;
.
Розкривши дужки і згрупувавши доданки за ступенями а. отримаємо:
.
З урахуванням властивості 4 і того, що і, маємо:
Отже, індукція завершена, значить істинність формули доведена.
У формулі бінома Ньютона для (а + b) n сума ступенів а й b в кожному доданку дорівнює n. Числа називаються біноміаль-ними коефіцієнтами. При обчисленні біноміальних коефіцієнтом-тов зручно застосовувати трикутник Паскаля.
Як приклад знайдемо: а) (a + b) 5; б) (х 2 -1) 4:
;
Легко переконатися, що добре відомі формули скороченого розум-піхов для (a + b) 2 і (a + b) 3 є окремі випадки формули бінома Ньютона.