Формула бінома Ньютона - студопедія

Виведемо формулу, що дозволяє зводити двочлен (біном) (а + b) в будь-яку цілу неотрицательную сте-пень. Це формула бінома Ньютона. Вона має такий вигляд:

Доведемо цю формулу методом математичної індукції по n. де n ≥0.

1. Формула вірна при n = 0, 1, 2. Справді,

2. Нехай формула вірна при n = k. Доведемо її при n = k + 1.

Розкривши дужки і згрупувавши доданки за ступенями а. отримаємо:

З урахуванням властивості 4 і того, що і. маємо:

Отже, індукція завершена, значить істинність формули доведена.

У формулі бінома Ньютона для (а + b) n сума ступенів а й b в кожному доданку дорівнює n. Числа називаються біноміаль-ними коефіцієнтами. При обчисленні біноміальних коефіцієнтом-тов зручно застосовувати трикутник Паскаля.

Як приклад знайдемо: а) (a + b) 5; б) (х 2 -1) 4:

Легко переконатися, що добре відомі формули скороченого розум-піхов для (a + b) 2 і (a + b) 3 є окремі випадки формули бінома Ньютона.

2. Напишіть розкладання по формулі бінома Ньютона і спростите при необхідності:

а) (a + b) 4; б) (a # 8213; b) 4; в) (a + 2b) 5; г) (a - 2b) 5;

д) (1 + 2x) 5; е); ж); з);

і); к); л); м);

а) шостий член розкладання (1 # 8213; 2z) 21;

б) шостий член розкладання;

в) п'ятий член розкладання;

г) п'ятий член розкладання;

д) два середніх члена розкладання (a 3 -ab) 23;

е) в розкладанні член, який не містить x;

ж) в розкладанні член, який не містить z;

з) в розкладанні коефіцієнт при а 8;

і) в розкладанні коефіцієнт при х 4;

к) x. якщо третій член розкладання (х + x lg x) 5 дорівнює 10 6.