Фізичні додатки криволінійних інтегралів

Робота при переміщенні тіла в силовому полі;

Магнітне поле навколо провідника зі струмом (Закон Ампера);

Електромагнітна індукція в замкнутому контурі при зміні магнітного потоку (Закон Фарадея).

Розглянемо ці програми більш докладно з прикладами.

Припустимо, що шматок дроту описується деякою просторової кривої \ (C. \) Нехай маса розподілена вздовж цієї кривої з щільністю \ (\ rho \ left (\ right). \) Тоді загальна маса кривої виражається через криволінійний інтеграл першого роду \ [m = \ int \ limits_C \ right) ds>. \] Якщо крива \ (C \) задана в параметричному вигляді за допомогою векторної функції \ (\ mathbf \ left (t \ right) = \ left (\ right), \) то її маса описується формулою \ [m = \ right) \ sqrt >>> \ right)> ^ 2> + >>> \ right)> ^ 2> + >>> \ right)> ^ 2 >> dt>.> \ ] в разі плоскої кривої, заданої в площині \ (Oxy, \) маса визначається як \ [m = \ int \ limits_C \ right) ds> \] або в параметричних й формі \ [m = \ right) \ sqrt >>> \ right)> ^ 2> + >>> \ right)> ^ 2 >> dt>.> \]

Центр мас і моменти інерції кривої

Нехай знову шматок дроту описується деякою кривою \ (C, \) а розподіл маси вздовж кривої задано безперервною функцією щільності \ (\ rho \ left (\ right). \) Тоді координати центру мас кривої визначаються формулами \ [\ bar x = \ frac >>>, \; \; \ bar y = \ frac >>>, \; \; \ bar z = \ frac >>>, \] де \ [> = \ int \ limits_C \ right) ds>,> \; \;> = \ int \ limits_C \ right) ds>,> \; \;> = \ int \ limits_C \ right) ds >> \] - так звані моменти першого порядку.

Моменти інерції відносно осей \ (Ox, Oy \) і \ (Oz \) визначаються формулами \ [= \ int \ limits_C +> \ right) \ rho \ left (\ right) ds>,> \; \; = \ Int \ limits_C +> \ right) \ rho \ left (\ right) ds>,> \; \; = \ Int \ limits_C +> \ right) \ rho \ left (\ right) ds>.> \]

Робота при переміщенні тіла в силовому полі \ (\ mathbf \) вздовж кривої \ (C \) виражається через криволінійний інтеграл другого роду \ [W = \ int \ limits_C \ cdot d \ mathbf>, \] де \ (\ mathbf \) - сила, що діє на тіло, \ (d \ mathbf \) - одиничний дотичний вектор (рисунок \ (1 \)). Позначення \ (\ cdot d \ mathbf> \) означає скалярний добуток векторів \ (\ mathbf \) і \ (d \ mathbf. \)

Зауважимо, що силове поле \ (\ mathbf \) не обов'язково є причиною руху тіла. Тіло може рухатися під дією іншої сили. У такому випадку робота сили \ (\ mathbf \) іноді може виявитися негативною.

Якщо векторне поле задано в координатної формі у вигляді \ [\ mathbf = \ left (\ right), Q \ left (\ right), R \ left (\ right)> \ right), \] то робота поля обчислюється за формулою \ [W = \ int \ limits_C \ cdot d \ mathbf> = \ int \ limits_C. \] в окремому випадку, коли тіло рухається вздовж плоскої кривої \ (C \) в площині \ (Oxy, \) справедлива формула \ [W = \ int \ limits_C \ cdot d \ mathbf> = \ int \ limits_C, \] де \ (\ mathbf = \ left (\ right), Q \ left (\ right)> \ right). \)

Якщо векторне поле \ (\ mathbf \) потенційно. то робота по переміщенню тіла з точки \ (A \) в точку \ (B \) виражається формулою \ [W = u \ left (B \ right) - u \ left (A \ right), \] де \ (u \ left (\ right) \) - потенціал поля.

Тіло масою \ (m \) кинуто під кутом до горизонту \ (\ alpha \) з початковою швидкістю \ (\) (рисунок \ (6 \)). Обчислити роботу сили тяжіння \ (\ mathbf = m \ mathbf \) за час руху тіла до моменту зіткнення з землею.

Запишемо закон руху тіла в параметричної формі. \ [X => t = \ cos \ alpha \ cdot t, \] \ [y => t - \ frac >> = \ sin \ alpha \ cdot t - \ frac >>. \] При зіткненні з землею \ ( y = 0, \) так що час польоту тіла одно \ [\ sin \ alpha \ cdot t - \ frac >> = 0,> \; \; \ Sin \ alpha - \ frac >> \ right) = 0,> \; \; \ Sin \ alpha >>.> \] Силу тяжіння запишемо у вигляді \ (\ mathbf = m \ mathbf = m \ left (\ right). \) Тоді робота за час переміщення тіла дорівнює \ [>> + Q \ frac> >> \ right) dt >> = \ sin \ alpha >> \ normalsize >>> - g \ cdot \ frac >>> \ right) dt >> = <- g\int\limits_0^\sin\alpha>> \ Normalsize >>>> \ right) dt >> = <- g\int\limits_0^\sin\alpha>> \ Normalsize >> = <- g\left[ \right|_^\sin\alpha>> \ Normalsize >> \ right]> = <- g\left[ \sin \alpha \cdot t - \frac>>> \ right)> \ right | _ ^ \ sin \ alpha >> \ normalsize >> \ right]> = <- g\left( ^2>\ Alpha >> - \ frac ^ 2> \ alpha >>>>> \ right) = 0.> \] Отриманий результат пояснюється тим, що гравітаційне поле Землі є потенційним, оскільки виконується рівність \ [\ frac >> = \ frac >> = 0. \] Знайдемо потенціал цього поля. У загальному вигляді він записується як \ [\ right) = \ int + \ left (y \ right)> = + \ left (y \ right)> = + \ left (y \ right).> \] Вважаючи \ (\ large \ frac >> \ normalsize = Q \ left (\ right) = - g, \) знаходимо \ [\ frac> \ left (y \ right) = - g, \; \; \ Rightarrow \ left (y \ right) = - gy +. \] Таким чином, потенціал гравітаційного поля дорівнює \ [u \ left (\ right) = - gy + = C - gy. \] Де \ (C \) - константа, яку можна покласти рівною \ (0. \) у результаті отримуємо потенціал у вигляді \ [u \ left (\ right) = - gy. \] звідси видно, що при переміщенні тіла з початкової точки \ (O \ left (\ right) \) до кінцевої точки \ (A \ left (\ right) \) робота дорівнює \ [W = u \ left (A \ right) - u \ left (O \ right) = 0. \]

Обчислити індукцію магнітного поля в вакуумі на відстані \ (r \) від осі нескінченно довгого провідника зі струмом \ (I. \)

Щоб знайти магнітне поле на расстоніе \ (r \) від провідника, розглянемо кругової контур радіуса \ (r, \) розташований перпендикулярно провіднику зі струмом (рисунок \ (7 \)). Оскільки поле \ (\ mathbf \) направлено по дотичній до кругового контуру в будь-який його точці, то скалярний добуток векторів \ (\ mathbf \) і \ (d \ mathbf \) є просто \ (Bdr. \) Тоді можна записати \ [ \ oint \ limits_C \ cdot d \ mathbf> = \ oint \ limits_C = B \ oint \ limits_C = 2 \ pi rB. \] В результаті отримуємо \ [2 \ pi rB = I \; \; \ text \; \; B = \ fracI >>>. \]

Оцінити значення електрорушійної сили \ (\ varepsilon \) і електричного поля \ (E, \) виникають в кільці радіусом \ (1 \, \ text \) у пасажира літака, при польоті літака в магнітному полі Землі зі швидкістю \ (900 \, \ text. \)

Відповідно до закону Фарадея \ [\ varepsilon = \ oint \ limits_C = - \ frac >>. \] Оскільки проводить кільце переміщається в магнітному полі Землі, виникає зміна магнітного потоку \ (\ psi, \) проходить через кільце.

Припустимо, що магнітне поле \ (\ mathbf \) перпендикулярно площині кільця. Тоді за час \ (\ Delta t \) зміна потоку одно \ [\ Delta \ psi = 2rBx = 2rBv \ Delta t, \] де \ (x = v \ Delta t, \) \ (v \) - швидкість літака, \ (B \) - індукція магнітного поля Землі. З останнього виразу отримуємо \ [\ varepsilon = - \ frac >> = 2rBv. \] Підставляючи задані величини \ [v = 900 \, \ text = 250 \, \ text, \; \; r = 1 \, \ text = 0,01 \, \ text, \; \; B = 5 \ times> \, \ text, \] знаходимо значення е.р.с. \ [\ Varepsilon = 2rBv = 2 \ cdot 0,01 \ cdot 5 \ times> \ cdot 250 = 0,00025 \, \ text. \] Як видно, це цілком безпечно для авіапасажирів.

Напруженість виникає електричного поля знайдемо по формулі \ (\ varepsilon = \ int \ limits_C \ cdot d \ mathbf>. \) У силу симетрії, наведене електричне поле буде мати постійну амплітуду в будь-якій точці кільця. Воно буде направлено по дотичній до кільцю в будь-який його точці. Це дозволяє легко обчислити криволінійний інтеграл. \ [\ Varepsilon = \ oint \ limits_C \ cdot d \ mathbf> = \ oint \ limits_C = E \ oint \ limits_C = 2 \ pi rE. \] Отже, напруженість електричного поля дорівнює \ [E = \ frac> = \ frac >> = 0,004 \, \ text. \]