Електронна бібліотека «фінансова математика»

1.7 Інші види постійних рент

Під вічної рентою розуміється послідовність платежів, число членів якої не обмежена, тобто вона виплачується нескінченне число років (наприклад, виплати за безстроковими облігаційних позиках). В цьому випадку нарощена сума з плином часу зростає нескінченно. А от сучасна величина має цілком певне кінцеве значення.

Розглянемо, наприклад, нескінченну постійну річну ренту постнумерандо (p = 1, m = 1).

У загальному випадку, коли p³ 1, m³ 1

Початок відкладеної (або відстроченої) ренти відсувається від моменту укладання угоди на якийсь момент в майбутньому. Нарощена сума такої ренти може бути підрахована за тими формулами, які нам вже відомі. А її сучасну величину можна визначити в два етапи: спочатку знайти сучасну величину відповідної негайної ренти (ця сума характеризує ренту на момент початку її терміну), а потім за допомогою дисконтування цієї величини за прийнятою ставкою протягом терміну затримки привести її до моменту укладення договору.

Наприклад, якщо сучасна величина річної негайної ренти дорівнює A. то сучасна величина відкладеної на t років ренти складе

де v t - дисконтний множник за t років, v = 1 / (1 + i)<1.

Розглянемо тепер ренту, коли платежі здійснюються на початку кожного періоду, - ренту пренумерандо. Різниця між рентою постнумерандо і рентою пренумерандо полягає лише в тому, що у останньої на один період нарахування відсотків більше. В іншому структура потоків з однаковими параметрами однакова. Тому нарощені суми обох видів рент (з однаковою періодичністю платежів і нарахування відсотків і розміром виплат) тісно пов'язані між собою.

Якщо позначити через нарощену суму ренти пренумерандо, а через S. як і раніше, нарощену суму відповідної ренти постнумерандо, то в найзагальнішому випадку отримаємо

Точно також для сучасної величини ренти пренумерандо і відповідної їй ренти постнумерандо маємо наступне співвідношення

Нарощена сума (S1 / 2) і сучасна вартість (A1 / 2) ренти з платежами в середині періодів і відповідної ренти постнумерандо пов'язані так