Еластичність функції - математика

4. Еластичність функції

Нехай аргумент функції бере зріст. Тоді значення функції змінюється на величину. Ставлення характеризує середня зміна функції, що припадає на одиницю зміни її аргументу, а межа цього відношення при дорівнює похідною.

Розглянемо відносні зміни змінних і, виражені, наприклад, у відсотках: і. Їхнє ставлення

показує, на скільки відсотків в середньому змінюється при зміні на. Межа цього відношення при називається еластичністю функції і позначається, тобто

то справедлива формула

Приклади. а) Нехай, тоді й, отже,. При отримуємо, тобто при збільшенні від 2 до 2,02 (на 1%) значення змінюється приблизно на.

б) Нехай, тоді й, отже,. При отримаємо. Отже, збільшення від 3 до 3,03 веде до зменшення приблизно на.

в) Нехай, тоді й, отже,. В цьому випадку еластичність постійна і дорівнює, тобто при будь-якому значенні аргументу його збільшення на 1% веде до зменшення значення функції також на.

Функція називається еластичною в точці, якщо, нейтральної, якщо, і нееластичний, якщо.

Приклад. Дана залежність попиту від ціни:

Знайдемо еластичність попиту, і розглянемо її значення при деяких. Так як, то. При маємо, звідки, тобто попит нееластичний. Якщо, то,, - попит нейтральний. При отримаємо, тобто і, отже, попит еластичний.

Еластичність попиту означає, що його відносна зміна по абсолютній величині перевершує відносна зміна ціни; нееластичність означає меншу відносну зміну попиту в порівнянні з ціною; нейтральність - рівність цих змін по абсолютній величині.

Приклад. Нехай залежність попиту від ціни представлена ​​функцією. величина

дорівнює виручці, одержуваної від продажу товару в обсязі, рівному попиту на товар. З'ясуємо, як змінюється попит зі збільшенням ціни. Для цього знайдемо похідну:

Будемо припускати, що, оскільки, як правило, попит зменшується з ростом ціни. В цьому випадку і, отже, маємо

Звідси видно, що якщо попит еластичний (), то, і з підвищенням ціни виручка від продажу товару знижується; якщо попит нейтральний (), то, і виручка мало залежить від зміни ціни; якщо попит нееластичний (), то, і виручка збільшується зі зростанням ціни.

1. Знайти похідні функцій: