Другий чудовий межа, слідства, приклади
Другий чудовий (особливий) межа часто викликає труднощі у студентів, хоча сам межа досить простий і зрозумілий на практиці. Він дозволяє розкривати невизначеності виду одиниця в ступені нескінченність. Чудовий межа має такий вигляд
де "е" -експонента.
Наслідки другого чудового краю
1)
2)
3)
4)
5)
6)
На практиці слідства другого межі рідше зустрічаються на практиці ніж він сам, однак без них деякі завдання в простий спосіб не вирішити.
Приклади на чудовий межа
Приклад 6.1. Знайти межа функції
а)
Рішення.
Перетворимо функцію до виду при якому можливо застосувати формулу чудового краю
В результаті можемо застосувати правило чудового краю
Рішення.
Подібно до попереднього прикладу перетворюємо функцію в дужках щоб застосувати чудовий межа
Потрібно відзначити, що в цьому прикладі і в багатьох подібних константи в ступенях, як правило вкладу не несуть. Функцію можна розписати наступним чином
Межа навмисне розписаний у вигляді добутку двох множників щоб Ви переконалися що константи в ступенях вкладу не несуть. Їх мета заплутати Вас, якщо погано знаєте теоретичний матеріал або сумніваєтеся в правильності рішення. У всіх наступних прикладах ми не будемо розписувати приклади на твір двох кордонів, проте пам'ятайте, що вони не змінюють кінцевого результату (внесок - множник одиниця).
Рішення.
Виконуємо перетворення заданої функції
Запис в такому вигляді зроблена спеціально, тому що ступінь потрібно звести до подібного виду
У такий простий спосіб отримали шуканий межа функції. Надалі необхідні заміни або підказки будуть виділені кольором із загального рішення.
Рішення.
Виконаємо заміну змінних в межі
і певні перетворення для знаходження межі
Бувають випадки, коли прямо застосувати правило другого чудового краю досить складно, в таких ситуаціях використовуйте прості заміни які Вам зрозумілі і дозволяють в швидкий спосіб знайти межа.
Приклад 6. 2 Обчислити межа функції
Рішення.
Зводимо функцію до правилу чудового краю
Підставляємо і обчислюємо, виконуючи потрібні маніпуляції з показниками
Рішення.
За відомим уже алгоритмом перетворимо функцію
Застосовуючи визначення другого важливого межі знаходимо
Приклад 6. 3 Визначити межа функції
б)
Рішення.
Зведемо функцію для застосування чудового краю
Підставляємо в кордон і спрощуємо
Рішення.
"Як знайти межа? - скажете Ви, адже змінна дорівнює мінус нескінченності.
У цьому прикладі бачимо що аргумент прагне до мінус нескінченності, крім того функція в дужках слід не до одиниці, а до 2 при великих аргументах.
З огляду на що ступінь негативний отримаємо наступне значення межі
У всіх прикладах другого чудового краю слід спочатку перевіряти умову що вираз в дужках прагне до одиниці. Якщо немає, то межа функції в залежності від ступеня буде дорівнює або нулю або нескінченності. Ті з Вас хто часто вирішує приклади такі перевірки здійснює автоматично. Решта зводять кордон в експоненті в певному ступені, але все одно вилазить множником або нуль або нескінченність. В кінцевому варіанті праві все, однак в першому випадку витрачається набагато менше часу, яке так необхідна на контрольних роботах, тестах, ЗНО. Тому вибирайте для себе простий шлях і робіть в навчанні правильні висновки.
Приклад 6. 5 Знайти межа функції
а)
Рішення.
Заданий приклад на вигляд відрізняється від попередніх, однак рішення отримуємо за такою ж схемою. Виконуємо перетворення функції в дужках під правило чудового краю
Залишилося в ступеня виділити зворотний множник
і підставити в кордон
За такою схемою обчислюйте всі подібні межі, вона проста і не вимагає додаткових пояснень.
Рішення.
До оскільки він розглядався прикладу великих перетворень робити не потрібно. Він має досить просту запис і рішення здійснюємо в один рядок
Практикуйте з подібними межами, використовуйте зручні для себе схеми зведення задач під необхідне правило. Не бійтеся робити помилки - без них навчання не обходиться!